人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀导学案
展开二次函数与一元二次方程、不等式
重点 | 一元二次不等式的解法;一元二次不等式应用题。 |
难点 | 二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 |
考试要求 | 考试 题型 选择题、填空题和解答题。 难度 中等 |
核心知识点一:三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 | |||
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 | 有两相异实根x1,x2(x1<x2) | 有两相等实根x1=x2=- | 没有实数根 |
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 | {x|x>x2或x<x1} | R | |
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 | {x|x1<x<x2} | ∅ | ∅ |
对一元二次不等式概念的三点说明
(1)“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,即哪一个是“未知数”,哪一个是“参数”即可。
(2)“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制。
(3)必须是整式不等式。
注意:
1. 对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形。
2. 当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别a的符号。
3. 不等式解集的端点是方程的根。
典例一:解不含参数的一元二次不等式 |
【能力提升】求下列不等式的解集:
(1)-x2+8x-3>0;
(2)-2x2+3x-2<0;
解析:
(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x2+8x-3=0有两个不等实根x1=4-,x2=4+。又二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下,所以原不等式的解集为{x|4-<x<4+}。
(2)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R。
总结提升:
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;
(2)计算对应方程的判别式;
(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集。
典例二:解简单的分式不等式 |
【能力提升】解下列不等式:
(1)≥0;(2)>1。
解析:(1)因为≥0⇔⇔⇔x<-或x≥。
所以原不等式的解集为。
(2)原不等式可化为或⇔或⇔-3<x<-。
所以原不等式的解集为。
易错点拨:
分式不等式的解法
先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式(组)来解。如果能判断出分母的正负,直接去分母即可。
典例三:一元二次不等式的实际应用 |
【能力提升】某地区上年度电价为0. 8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降价到0. 55元/千瓦时至0. 75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0. 4元/千瓦时。经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区电力的成本价为0. 3元/千瓦时。
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0. 2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
解析:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0. 3)(0. 55≤x≤0. 75)。
(2)依题意,有
,
整理,得
解此不等式组,得0. 60≤x≤0. 75。
所以当电价最低定为0. 60元/千瓦时时,
仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%。
易错点拨:
解不等式应用题的步骤
一、本节重要知识点
1. 不含参数一元二次不等式:一是注意开口方向;二是注意能否因式分解。
2. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数、实质上都是一个函数图像从“y=”还是“y>”(或其他不等号)两个角度来分的,等号就是方程,不等号就是不等式。三种情况都可以看成y等于一个参数a与二次函数的交点关系来理解。
二、易错点:
1. 实际问题忘记考虑实际情况,导致范围不准
三、必会题型
1. 解一元二次不等式;
2. 解分式不等式。
四、主要数学思想
1. 数形结合的思想。
2. 分类讨论的思想
(答题时间:30分钟)
1. 不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. D.
2. 若不等式的解集为,则_______。
3. 不等式的解集为________
4. 解不等式:(1) (2)
5. 国家为了加强对烟酒生产的管理,实行征收附加税政策。现在某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征收R元(叫做税率为R%),则每年产销量将减少10R万瓶。要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,R应怎样确定?
1. D
【解析】根据不含参数的一元二次不等式的解法,可直接求出结果。
【详解】由得,解得。
故选D
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式,熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可,属于基础题型。
2.。
【解析】分析:由不等式和方程的关系,可直接代入求、的值,进而求出的值。
详解:根据不等式解集与方程的关系,将带入得
所以由(1)可得
点睛:本题考查了不等式和方程的关系,利用不等式解集的边界为方程的解,可直接代入求得的值。
3.
【解析】,则 或 ,
解得: ,解集为。
4. (1)。
(2)。
【解析】分析:(1)解一元二次不等式,通过穿根法求得解。
(2)解分式不等式,要先移项;再把x的系数化为正数,通过穿根法求解。
详解:(1)
所以,即解集为。
(2)分式不等式,移项得
根据穿根法,得
所以解集为。
点睛:本题考查了两种常见不等式的解法,主要是通过穿根法求解,属于简单题。利用穿根法时,注意:(1)奇过偶不过,(2)x的系数为正。
5. 。
【解析】设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收附加税为70x·R%万元,并且x=100-10R,由题意得70(100-10R)·R%≥112,解不等式即得解。
【详解】设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收附加税为70x·R%万元,并且x=100-10R,由题意,得70(100-10R)·R%≥112,
即R2-10R+16≤0,
解得2≤R≤8,
∴税率定在2%~8%(包括2%和8%)时,可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元。
【点睛】本题主要考查函数的应用和不等式的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。
二次函数与一元二次方程、不等式参数问题
重点 | 含参数的一元二次不等式的解法,恒成立问题。 |
难点 | 含参数一元二次不等式;恒成立问题。 |
考试要求 | 考试 题型 选择题、填空题和解答题。 难度 中等 |
核心知识点:三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 | |||
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 | 有两相异实根x1,x2(x1<x2) | 有两相等实根x1=x2=- | 没有实数根 |
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 | {x|x>x2或x<x1} | R | |
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 | {x|x1<x<x2} | ∅ | ∅ |
对一元二次不等式概念的三点说明
(1)“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,即哪一个是“未知数”,哪一个是“参数”即可。
(2)“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制。
(3)必须是整式不等式。
注意:
1. 对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形。
2. 当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别a的符号。
3. 不等式解集的端点是方程的根。
典例一:不等式的恒成立问题 |
【能力提升】若对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围;
答案:-4<m≤0
解析:要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,⇒-4<m<0。
所以-4<m≤0。
易错点拨:
处理不等式恒成立问题的常用方法
(1)一元二次不等式恒成立的情况:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔
典例二:解含参数的一元二次不等式 |
【能力提升】解关于x的不等式ax2+(a-1)x-1>0。
解析:若a=0,则原不等式为一元一次不等式-x-1>0,即x<-1,不等式的解集为(-∞,-1)。
当a≠0时,ax2+(a-1)x-1=(ax-1)(x+1)=0的两根
为x1=,x2=-1。当a>0时,解集为;当-1<a<0,即<-1时,解集为;当a<-1,即0>>-1时,解集为;当a=-1时,解集为。
总结提升:
含参一元二次不等式的解法
在解含有参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,一般从如下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项的系数a>0,a=0,a<0。
(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0)。
(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2。
一、本节重要知识点
1. 含参数一元二次不等式:(1)二次项含参数注意参数的讨论;(2)能因式分解的按照根的大小相等结合开口来讨论;(3)不能因式分解根据判别式△结合开口来讨论
二、易错点:
1. 恒成立问题考虑不周全,导致范围扩大
三、必会题型
1. 恒成立问题结合函数图像来求范围
2. 解含参数和不含参数的一元二次不等式
(答题时间:30分钟)
1. 解下列不等式
(1)-4x2+18x-≥0;
(2)-x2+3x-5>0;
2. 解关于x的不等式2x2+ax+2>0。
3. 已知。
(1)若,解不等式;
(2)若,解不等式。
4. 某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,则t的取值范围为________。
1. 【解析】
(1)原不等式可化为,所以原不等式的解集为。
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅。
2.【解析】
对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4)。
①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为x1=,x2=)。
所以原不等式的解集为
。
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1,所以原不等式的解集为{x|x≠-1}。
③当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1,
所以原不等式的解集为{x|x≠1}。
④当-4<a<4时,Δ<0,方程无实根,所以原不等式的解集为R。
3. 答案:(1)或。(2)
【解析】(1)利用一元二次不等式的解法解不等式得解;(2)由题得,再对a分类讨论解不等式。
【详解】(1)当,不等式即,即,
解得,或,
故不等式的解集为或。
(2)若,不等式为,即,
∵,
∴当时, ,不等式的解集为;
当时,,不等式即,它的解集为;
当时,,不等式的解集为。
4. [3,5]
【解析】由题意可列不等式如下:·24 000·t%≥9 000⇔3≤t≤5
人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式学案: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000263_t4/?tag_id=42" target="_blank">2.2 基本不等式学案</a>,共4页。学案主要包含了基本不等式等内容,欢迎下载使用。
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