人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品导学案及答案

不等式的性质

核心知识点一：

两个实数比较大小的方法

作差法

【例题】已知a>0，试比较a与的大小。

【解析】因为a－＝＝，因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；

当a＝1时，＝0，有a＝；

当0<a<1时，<0，有a<。

综上，当a>1时，a>；

当a＝1时，a＝；

当0<a<1时，a<。

总结提升：

作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：

（1）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论。

（2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分解因式；⑤分类讨论。

核心知识点二：

1. 不等式的性质

（1）对称性：a>b⇔b<a；

（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c；

（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

（5）可乘方性：a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）；

（6）可开方性：a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）。

注意：

1. 辨明两个易误点

（1）在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c；

（2）在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论（当c＝0时，取“＝”）。

2. 不等式中的倒数性质

（1）a>b，ab>0⇒<；

（2）a<0<b⇒<；

（3）a>b>0，0<c<d⇒>；

（4）0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<。

【能力提升】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a（d－c）＞b（d－c）中成立的个数是（　　）

A. 1   B. 2

C. 3   D. 4

【解析】因为a＞0＞b，c＜d＜0，

所以ad＜0，bc＞0，

所以ad＜bc，故①错误.

因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，

因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，

所以a（－c）＞（－b）（－d），

所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正确。

因为c＜d，所以－c＞－d，

因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），

即a－c＞b－d，故③正确。

因为a＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），

故④正确，故选C。

【答案】C

总结提升：

①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明。常用的推理判断需要利用不等式性质。

②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假。

【能力提升】已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围。

【解析】设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）

＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，

则有解得

又∵－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，

∴－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－，

∴－≤a＋3b≤1。

即a＋3b的取值范围是[－，1]。

【答案】[－，1]

易错点拨：

利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题：

（1）恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质。

（2）运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等。

（3）准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误。

一、本节重要知识点

1. 不等式的性质

2. 运用性质比较大小、判断不等式命题真假

3. 灵活运用比较大小的方法

二、易错点

不等式性质求范围时，要对给出的条件整体运用或者求出字母的范围，不能出现同向不等式相减、相除的错误。

三、必会题型

利用不等式的性质求代数式的取值范围。

（答题时间：30分钟）

1. 已知a<b<0，则下列不等式一定成立的是（　　）

A. a2<ab　 B. <<0

C. |a|<|b|   D. <

2. 若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式有（　　）

A. 0个   B. 1个

C. 2个   D. 3个

3. 已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________。

4. 给出的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0。能得出<成立的是________。

5. 已知12<a<60，15<b<36，求a－b与的取值范围。

1. 解析：选B。因为a<b<0，所以令a＝－2，b＝－1，经检验B正确，A，C，D错误。

2. 解析：选B。由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；由<<0，得>，两边同乘|ab|，得 |b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，即③错误，故选B。

3. 解析：（x2＋2）－3x＝（x－1）（x－2），因为x<1，

所以x－1<0，x－2<0，

所以（x－1）（x－2）>0，即，所以x2＋2>3x。

答案：x2＋2>3x

4. 解析：由<，可得－<0，即<0，

故①②④可推出<。

答案：①②④

5. 【解析】

∵15<b<36，∴－36<－b<－15，

∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45。

∵<<，∴<<，∴<<4。

∴a－b和的取值范围分别是（－24，45），。

基本不等式

核心知识点三：

1. 基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0。

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b。

2. 几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥ 2ab（a，b∈R）；

（2）＋≥2（a，b同号）；

（3）ab≤2（a，b∈R）；

（4）2≤（a，b∈R）。

3. 算术平均数与几何平均数

设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4. 利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）。

（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）。

【能力提升】下列不等式的推导过程正确的是________。

①因为x，y∈R，xy<0，所以＋

＝

＝－2；

②x2＋3＋＝x2＋2＋＋1≥2＋1＝3。

【解析】从基本不等式成立的条件考虑。

①由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故①正确；

②虽然可以利用基本不等式推导，但等号成立的条件是x2＋2＝，即x2＋2＝1，这显然不可能，从而等号取不到，因此只能得到x2＋3＋>3。

【答案】①③

总结提升：

应用基本不等式时应注意

（1）基本不等式成立的条件是a>0，b>0。

（2）a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数。

【能力提升】已知m＝a＋（a>2），n＝2（2－b2）（b≠0），则m，n之间的大小关系是（　　）

A. m>n　　　　　　 B. m<n

C. m＝n D. 不确定

【解析】因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝（a－2）＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2（2－b2）<4，综上可知m>n。

【答案】A

易错点拨：利用基本不等式比较实数大小的注意事项：

（1）利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式（和与积）。

（2）利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0。

【能力提升】设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6。

【解析】因为a>0，b>0，c>0，

所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，

所以＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立。

所以＋＋≥6。

易错点拨：利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。

（2）注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用。

【能力提升】矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少?

【解析】设篱笆的宽为xm，长为ym，靠墙的一边为长，则有2x+y=36（x>0，y>0）。

篱笆的面积为xy有

当且仅当2x=y=18,即x=9,y=18时，等号成立

所以矩形的长为18m，宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是162m2。

易错点拨：用基本不等式求最值时要注意下列三个条件：

（1）实际问题中各变量均为正数；

（2）含变量的两项的和或积为定值；

（3）含变量的两项可以相等，即“一正二定三相等”。

一、本节重要知识点

基本不等式

二、易错点

1. 基本不等式使用条件，尤其是都为负数时，要注意变号

2. 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立。

三、必会题型

1. 利用基本不等式比较大小

2. 利用基本不等式证明不等式

（答题时间：30分钟）

1. 已知，则的值（    ）

A. 都大于1 B. 都小于1

C. 至多有一个不小于1 D. 至少有一个不小于1

2. 若，则下列不等式成立的是（    ）

A.       B.      C.      D.

3. 若实数，且满足，则的大小关系是

A.           B.

C.           D.

4. 设x>0，求证：x＋≥。

1. D

【解析】

令，则，排除A，B。

令，则，排除C。

对于D，假设，则，

相加得，矛盾，故选D。

2. D

【解析】令故A错，故B错，故C错，故选D

3. D

【解析】

因为，且满足，所以，

又，所以>，得，所以，

故选D。

4. 证明：∵x>0，∴x＋>0，∴x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝。

当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立。