人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀学案

常用逻辑用语

常用逻辑用语核心知识

核心知识点一：命题及充分条件、必要条件

1. 命题及相关概念

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题。

形式：“若p，则q”。其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

2. 充分条件与必要条件

注意：

充分条件与必要条件的两点说明

（1）p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”。

（2）q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立。

3. 充要条件

（1）推出关系：pq，且qp，记作pq。

（2）简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件。

（3）意义：pq，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件。

【例题】判断下列各题中p是q的什么条件？

（1）p：（a－2）（a－3）＝0，q：a＝3；

（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形。

解析：

（1）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出（a－2）（a－3）＝0，因此p是q的必要不充分条件。

（2）

∴p是q的既不充分也不必要条件。

总结提升：

充分、必要、充要条件的判断方法

（1）定义法

若pq，qp，则p是q的充分不必要条件；

若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；

若pq，qp，则p是q的充要条件；

若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件。

（2）集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若AB，则p是q的充分条件；

若AB，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件；

【例题】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）。

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或，解得m≤3。

又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}。

总结提升：

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解。

核心知识点二：全称量词与存在量词

1. 全称量词和存在量词

注意：

（1）诠释全称命题及特称命题

①全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”。

②有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”。

③特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等。

（2）全称命题与特称命题的区别

①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”。

②特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”。

2. 含有一个量词的命题的否定

注意：“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析

（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p（x）的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词。

（2）与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定。因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词。

【例题】判断下列命题的真假：

（1）x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

（2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；

（3）x∈N，x2>0。

解析：

（1）∵当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，

∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题。

（2）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题。

（3）∵0∈N，02＝0，所以命题“x∈N，x2>0”是假命题。

总结提升：判断全称命题和特称命题真假的方法

（1）要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假。

（2）要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p（x）为假。

【例题】设命题p：n∈N，n 2>2n，则 ¬p为（　　）

A. n∈N，n 2>2n B. n∈N，n 2≤2n

C. n∈N，n 2≤2n D. n∈N，n 2＝2n

解析：由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“x∈R，n∈N*，使得n＜x2”。

答案：D

易错点拨：含有一个量词的命题的否定：一、量词改变；二、结论否定

本节重要知识点

1. 命题及充分条件、必要条件、充要条件.

2. 全称量词命题、存在量词命题、含有一个量词的命题的否定。

（答题时间：30分钟）

1. 命题“x∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A. a≥4 B. a≤4 C. a≥5 D. a≤5

2. 已知，则“或”是“”的（    ）

A. 充要条件  B. 必要非充分条件 

C. 充分非必要条件 D. 既非充分也非必要条件

3. 若、不全为0，必须且只需（　　）

A.  B. 、中至多有一个不为0

C. 、中只有一个为0 D. 、中至少有一个不为0

4. 命题“”是命题“”的______条件。

5. 命题“”的否定是__________。

1. C

【解析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案。

【详解】解：命题“x∈[1，2]，”为真命题，可化为x∈[1，2]，，恒成立，即“x∈[1，2]，”为真命题的充要条件为a≥4，

故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意。

故选：C。

【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义。

2. B

【解析】通过反例可知“或”是“”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若，则或为真，验证出“或”是“”的必要条件，从而可得结果。

【详解】若，，则，可知“或”是“”的非充分条件；

若，则或的逆否命题为：若且，则；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“或”是“”的必要条件；

则“或”是“”的必要非充分条件

本题正确选项：

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立。

3. D

【解析】本题首先可以通过题意中的“、不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。

【详解】“、不全为0”包含三种情况，分别是“为0，不为0”、“不为0，为0”、“、都不为0”，故、中至少有一个不为0，故选D。

【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。

4. 必要不充分

【解析】求出方程的解后可判断两者之间的条件关系。

【详解】的解为或，

所以当“”成立时，则“”未必成立；

若“”，则“”成立，

故命题“”是命题“”的必要不充分条件，填必要不充分。

【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.

5.

【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可。

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“”的否定命题：，

故答案为：。

【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题。

常用逻辑用语综合训练

【能力提升】设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（　　）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析：选A　∵ x＋y>2，即p⇒q。

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qp。故p是q的充分不必要条件。

易错点拨：

充要条件的3种判断方法

【能力提升】已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。

解析：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，

∴条件p对应的集合P＝。

由x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得a≤x≤a＋1，

∴条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}。

法一：用“直接法”解题

对应的集合A＝或，

对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}。

∵是的必要不充分条件，即，BA

∴或∴0≤a≤。

即实数a的取值范围是[0，]。

法二：用“等价转化法”解题

∵是的必要不充分条件，

∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件。

∴p⇒q，即PQ⇔或

解得0≤a≤。即实数a的取值范围是[0，]。

答案：[0，]

易错点拨：

【能力提升】已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围。

解：由已知得：：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立。

∴设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，

则，

∴，解得a≤－3，

∵p为假，∴a>－3，即a的取值范围是（－3，＋∞）。

总结提升：

一、本节重要知识点

充分必要条件、含有量词的命题的判断与否定

二、易错点

1. 充分必要条件与集合包含集合运算的理解运用

2. 含有量词的命题的否定与灵活运用

三、必会题型

1. 根据充分必要条件、根据命题真假求参数范围

2. 恒成立问题

（答题时间：30分钟）

1. “”是“或”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 设或；或，则是的________条件。

3. 命题“”的否定是__________。

4. 已知条件：；：。若是一个充分不必要条件是，求实数的取值范围。

1. A

【解析】可以探索且是的什么条件，利用原命题与其逆否命题真假相同进行判断。

【详解】若且，则，显然成立.若不一定推出且。所以是的充分不必要条件。根据原命题与其逆否命题真假相同可得“”是“或”的充分不必要条件。

【点睛】本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题

2. 充分不必要

【解析】可先判断p是q的什么条件，根据原命题与逆否命题的关系即可得到答案。

【详解】由题意，当q成立时，可得p是成立的，反之不成立，所以p是q必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，故答案是：是的充分不必要条件。

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，以及命题的关系，其中解答中熟记充要条件的判定方法，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。

3.

【解析】由全称命题的否定得解

【详解】全称命题的否定为：改否定结论，故命题“”的否定是：

故答案为：

【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记否定原则是关键，是基础题

4.

【解析】求出不等式的等价条件，结合的一个充分不必要条件是转化为的一个充分不必要条件是，利用不等式的关系转化为集合关系进行求解即可。

【详解】命题中不等式等价为或，即或，得，即：。

由得，即，

得，

对应方程的根为，或。

①若，即时，不等式的解为，

②若，即时，不等式等价为，此时无解，

③若，即时，不等式的解为，

若的一个充分不必要条件是，

∴的一个充分不必要条件是，

设对应的集合为，对应的集合为，

则满足BA

①当时，满足，即，得，

②当时，，满足BA，

③当时，满足，得，得，

综上，

即实数的取值范围是。

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，构造函数利用二次函数的性质是解决本题的关键。