突破2.2基本不等式（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破2.2 基本不等式 A组 基础巩固 1．（2021·江苏高一专题练习）若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，则， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值. 故选：C. 2．（2020·江苏高一月考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】 由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 3．（2021·阜阳市耀云中学高二期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 4．（2020·江苏省涟水中学高二月考）若函数在处取最小值，则等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】 将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值. 【详解】 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A. 【点睛】 本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．（2020·黑龙江牡丹江一中高一期末）已知，则的最小值为（ ）. A．9 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】 首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 . ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值2. 的最小值为. 故选B. 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题. 6．（2020·浙江高一月考）已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案. 详解：设，则， ，即 整理得：当且仅当 当且仅当时取. 解得或（舍去）即当时，取得最小值8. 故选C. 点睛：本题考查基本不等式，灵活变形和熟练掌握基本不等式的性质，正确把握“一正，二定，三相等”是解题关键. 7．（2020·浙江高二开学考试）已知，，且，则的最小值为___________， 的最大值为___________. 【答案】9 【分析】 记为，展开利用基本不等式进行求解；先利用基本不等式求出的范围，即可根据不等式的性质求得的范围. 【详解】 因为，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9. 因为，当且仅当时 ，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：9； 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 8．（2020·浙江高三专题练习） 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【分析】 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】 由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】 使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 9．（2020·青海湟川中学高一期末）已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【分析】 首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】 ， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 10．（2020·湖南娄底一中高二期中）当时，的最小值为______. 【答案】 【分析】 将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 ，，由基本不等式得. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 11．（2019·贵州省铜仁第一中学（理））已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据知，且，所以， 故，化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】 因为知，又，所以，而 ，经检验等号成立,故填. 【点睛】 本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题. 12．（2020·江苏省西亭高级中学高一期末）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； 【答案】20吨 【分析】 依题意写出表达式，均值不等式求最小值． 【详解】 由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨． 【点睛】 实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件． 13．（2020·吉林高一月考）（1）若正数，满足，求的最小值； （2）若正数，满足，求的取值范围. 【答案】（1）18；（2）. 【分析】 （1）化简得，再利用基本不等式求最值； （2）由题得，再解一元二次不等式得解. 【详解】 （1）原式. (当且仅当时取等号.) 所以最小值为18. （2）， 所以， 所以， 所以， 所以.（当且仅当取等号） 所以的取值范围为. 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.  B组 能力提升 14．（2021·衡水第一中学高三月考）（多选题）设，，且，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最小值为 D． 【答案】BCD 【分析】 根据，，且，利用“1”的代换变形，再利用基本不等式逐项求解判断. 【详解】 因为，，且， A，当且仅当，即时，取等号，故错误； B. ，当且仅当，即时，取等号，故正确； C. ，当且仅当，即时，取等号，故正确； D. ， ， ，故正确； 故选：BCD 【点睛】 方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． （2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等． 15．（2020·江苏省苏州第一中学校高二月考）（多选题）若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 【答案】AB 【分析】 对A,根据基本不等式求的最大值； 对B,对平方再利用基本不等式求最大值； 对C,根据再展开求解最小值； 对D,对平方再根据基本不等式求最值. 【详解】 对A,,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误. 对D, ,即,故有最小值.故D错误. 故选：AB 【点睛】 本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题. 16．（2020·江苏高一课时练习）（多选题）已知，则下列函数的最小值为2的有 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项. 【详解】 因为，所以（当且仅当时取等号）； 因为函数在递增，所以； 因为函数在递增，所以； 因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题. 17．（2021·全国高一专题练习）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【详解】 试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 18．（2021·安徽黄山市·屯溪一中高二期中（理））设，，且. 证明：(1) ； (2) 与不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析. 【详解】 试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用. (i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由,,得. (1)由基本不等式及,有,即 (2)假设与同时成立, 则由及a>0得0