2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题04《一次函数》（北师大版）（学生版）

专题04 《一次函数》

1．函数：一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了一个y的值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.

2．函数的三种表示方法:列表法、表达式法、图象法.

3．画函数图象的一般步骤:（1）列表，（2）描点，（3）连线.

4．一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式,则称y是x的一次函数. 当两个变量x,y满足表达式y=kx(k≠0),则称y是x的正比例函数.

5．一次函数图象及画法

 （1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，这条直线经过(0,b).画一次函数的图象只要确定满足表达式y=kx+b的两个简单的点即可.

(2)正比例函数y=kx的图象是一条经过(0,0)和(1,k)点的直线.

6．一次函数的性质:

在一次函数y=kx+b中,

（1）当k>0时，y的值随x值的增大而增大；

（2）当k<0时，y的值随x值的增大而减小.

补充性质：

（3）当k>0，b>0时，直线y=kx+b经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，直线y=kx+b经过二、三、四象限；当k<0，>0时，直线y=kx+b经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，直线y=kx+b经过二、三、四象限.

7．一次函数y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标：

（1）与x轴的交点坐标为(-,0);(2)与y轴的交点坐标(0,b).

8．一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0之间的关系.

一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标的对应值即为一元一次方程kx+b=0的根.

9．一次数图象的应用

 利用函数图象解决简单的实际问题，从中体会方程与函数的关系．

二、易混、易忽视概念

1．函数的两个变量之间的对应关系，不能说某一个量是函数.如：在路程、速度和时间关系中，只有当速度一定时，路程是时间的函数，不能笼统地说路程是函数.

2．注意区分一次函数和正比函数，正比例函数是一次函数，是一次函数的特殊形式.不能说一次函数是正比例函数.

3．在y=kx+b中一定要强调k≠0,k,b为常数时,y才是x的一次函数,否则,y就不一定是x的一定函数.

4．函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)在x取任意数时,它的图象是一条直线,注意当x在某个范围内取值时,函数的图象可能是线段、射线.

考点1：函数图象

例1（2020陕西）变量x，y的一些对应值如下表：

根据表格中的数据规律，当x=-5时，y的值是（　）

A．75       B．-75      C．125      D．-125

【答案】D.

【解析】根据表格数据得到函数y=x3，把x=﹣5代入求得即可，

解：根据表格数据画出图象如图：

由图象可知，函数的解析式为：y=x3，

把x=﹣5代入得，x=﹣125，

故选：D.

【名师点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，图象上的点适合解析式，根据表格数据得到函数的解析式是解题的关键.

考点2：确定函数自变量的取值范围

例2(2020丹东)在函数y=中，自变量x的取值范围是（   ）

A. x≤3        B.x=3       C.x≥3         D. x>3

答案：A.

【答案】A.

【解析】根据二次根式的性质，可得被开方数大于等于0，解不等式即可得到x的取值范围.

解：根据题意得：9﹣3x≥0，

解得：x≤3.

故选：A.

【名师点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整数时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达是分数时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达是二次根式时，被开方数非负.

考点3：正比例函数的定义

例3（2020眉山模拟）若函数是正比例函数，则该函数的图象经过第    象限　     　．

【答案】二、四．

【解析】根据正比例函数的定义可得，|m|=1，且m – 1≠0，计算出m的值，然后可得函数解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．

解：由题意得，|m|=1，且m – 1≠0，解得，m= – 1，

函数解析式为：y= – 2x，

∵k= – 2＜0，

∴该函数的图象经过第二、四象限．

故答案为：二、四．

【名师点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大.

考点4：一次函数的图象

例4（2020济南）若<﹣2，则一次函数y=（m+1）x+1-m的图象可能是（    ）

A.        B.       C.          D.

【答案】D ．

【解析】由m<﹣2得出m+1<0，1-m>0，进而利用一次函数的性质解答即可.

解：∵m<﹣2，

∴m+1<0，1-m>0，

所以一次函数y=（m+1）x+1-m的图象经过一，二，四象限，

故选：D.

【名师点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系. 解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k，b的符号有直接的关系. k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限. b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.

考点5：一次函数图象的性质

例5（2020镇江）一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　）

A．第一       B．第二      C．第三        D．第四

【答案】D ．

【解析】根据一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k>0，与y轴的交点为（0,3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题.

解：∵一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，

∴k>0，该函数过点（0, 3），

∴该函数的图象经过第一、二=三象限，不经过第四象限.

故选：D.

【名师点睛】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

考点6：一次函数图象与几何变换

例6（2020日照）将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（    ）

A. y=2x+3        B. y=2x-3       C. y=2（x+3）      D. y=2（x-3）

【答案】A．

【解析】直接利用一次函数“上甲下减”的平移规律即可得出答案.

解：∵将函数y=2x的图象向上平移3个单位，

∴所得图象的函数表达式为：y=2x+3.

故选：A.

【名师点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．

考点7：求一次函数解析式

例7（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点（1, 2）.

（1）求这个一次一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）y=x+1;（2）m≥2．

【解】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A（1,2）代入y=x+b，求出 b的值，即可得到一次函数的解析式；

（2）根据点（1,2）结合图象即可求得.

解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由直线y=x平移得到，

∴k=1，

将点（1,2）代入y=x+b，

得1+b=2，解得b=1，

一次函数的解析式y=x+1

（2）把点（1,2）代入y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x+1的值，

∴m≥2.

【名师点睛】本题考查一次函数和几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键.

考点8：一次函数与一元一次方程

例8（2020济宁模拟）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第______象限．

【答案】一

【解析】关于x的方程mx+3=4的解为x=1，于是得到m+3=4，求得m=1，得到直线y=﹣x﹣3，于是得到结论．

解：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，

∴m+3=4，∴m=1，

∴直线y=（m﹣2）x﹣3为直线y=﹣x﹣3，

∴直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限，

故答案为：一．

【名师点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，求得m的值是解题关键．

考点9： 一次函数的应用

例9 （2020牡丹江、鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车的速度是________千米/时，在图中括号内填入正确的数；

（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；

（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米.

【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．

【解析】（1）由图象分析可得甲车行驶480km480km用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；

（2）利用待定系数法即可求解；

（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．

（1）由图象可知甲车在t=8时行驶到C市，此时行驶的路程为480km，故速度为60km/h，

∴乙车的行驶速度为80km/h，

∴乙车由C市到A市需行驶6h，

∴图中括号内的数为：4+6=10，

故答案为：60，10；

（2）设线段MN所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .

把点M（4，0），N（10，480）代入y = kt + b，得：，

∴线段MN所在直线的函数解析式为y=80t－320．

（3）若在乙车出发之前，即t<4时，则480−60t=460，解得t=13；

若乙车出发了且甲车未到C市时，即4<t<8时，则480−60t+80(t−4)=460，解得t=17（舍）；

若乙车出发了且甲车已到C市时，即t>8时，则60t−480+80(t−4)= 460，解得t=9；

综上，甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．

【名师点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答解决实际问题．

一、选择题（每小题3分,共计30分）

1．（2020湖州模拟）下列函数中，是一次函数的是（    ）

A．y=       B．y=x2+3       C．y=3x－1       D．y=

2．（2020荆州一模）下列函数中，不是正比例函数的是(    )

A．  B．y = kx（k<0）  C．y= kx（k＞0）  D．y=3x2−x（x+3）

3．（2020烟台模拟）一次函数y=x+2中，当x= 9时，y值为（    ）

A．－4        B．－2         C．6         D．8

4．如果点P(－1，3)在过原点的一条直线上，那么这条直线是（    ）

A．y=－3x      B．y=x      C．y=3x－1      D．y=1－3x

5．（2020桂林一模）当x逐渐增大，y反而减小的函数是（   ）

A．y=x        B．y=0．001x       C．y=      D．y=－5x

6．（2020广州期中）如图1,函数y=－mx（m>0）的图象是(     )

7．（2020广西一模）一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则(    )

A．k>0，b>0     B．k>0，b<0

C．k<0，b>0     D．k<0，b<0

8．（2020鄂州一模）已知变量y与x之间的函数关系的图象如图 2，它的解析式是(    )

A． B．

C． D．

9．（2020荆州模拟）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图2描述了他上学的情景，下列说法中错误的是(　　)

A．修车时间为15分钟          

B．学校离家的距离为2000米

C．到达学校时共用时间20分钟  

D．自行车发生故障时离家距离为1000米

10．若函数y=2x+3与y=3x－2b的图象交x轴于同一点，则b的值为(　　)

A．－3   B．－   C．9  D．－

二、填空题（每空3分，共30分）

11．（2020天门一中模拟）已知一次函数y=kx+5过点P(－1，2)，则k=______；函数y随自变量x的增大而_____．

12．（2020襄阳模拟）已知一次函数y=2x+4的图象经过点(m，8)，则m=_____．

13．（2020宜昌模拟）已知y与x+1成正比例，当x =5时，y =12，则y关于x的函数解析式是____．

14．某林场现有森林面积为1560平方千米，计划今后每年增加160平方千米的树林，那么森林面积y（平方千米）与年数x的函数关系式为______，6年后林场的森林面积为______．

15．（2020随州模拟）用5G手机从武汉向北京打长途电话，设通话时间x(分)，需付电话费y(元)，通话3分以内话费为3．6元．请你根据如图4所示的y随x的变化的图象，找出通话5分钟需付电话费____元．

16．已知矩形的周长为40，设其中一边长为，面积为，则关于的函数关系式为_______，自变量的取值范围是_____．

17．（2020深圳一模）若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，则______．

18．（2020合肥模拟）已知一次函数与交于点（2，），则______．   

19．（2020深圳模拟）如图5，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为      ．

20．将直线y＝2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是_________．

三、解答题（共60分）

21．（6分）（2020广西模拟）如图6，下面有三个关系式和三个图象，哪一个关系式与哪一个图象能够表示同一个一次函数？

（1）y=1−x2；
（2）a+b=3；
（3）s=2t．

22．（6分）（2020长沙模拟）已知y是x的一次函数

(1)根据下表写出函数表达式；

(2)补全下表

23．（6分）（2020广州一模）作出函数y=1－x的图象，并回答下列问题．

(1)随着x值的增加，y值的变化情况是_________；

(2)图象与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是_________；

(3)当x_________时，y≥0．

24．（8分）（2020鄂州一中模拟）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快．如果两人同时起步，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．如图7中l1，l2分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系．

(1)哪条线表示小明的路程与时间的关系？

(2)小明让小亮先跑了多少米？

(3)谁将赢得这场比赛？

25．（8分）（2020湖州模拟）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图8所示．

(1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的函数关系式．

(2)两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？(x≤100)

26．（8分）（2020郑州模拟）有一批货，如果月初出售，可获利1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费．

（1）请表示出这批货物的成本a（元）与月初出售到月末的获利额p（元）之间的关系；

（2）请问这批货在月初还是月末售出好？

27．（8分）（2020洪湖一模）我市粮食储备中心为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗霉功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式

（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

28．（10分）（2020黄冈一模）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图9是裁法一的裁剪示意图）

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y

张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．

（1）上表中，m =        ，n =        ；

（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；

（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，

并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材

多少张？