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数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时学案
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这是一份数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时学案，共17页。
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
知识点 基线
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同．( )
(2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．( )
[答案] (1)√ (2)√
类型1 测量距离问题
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
[解] 因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cs 30°＝503(m)．
在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知
ACsin45°＝100sin60°，因此AC＝10063m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝100632＋(503)2－2×10063×503cs 45°＝12 5003，从而有AB＝50153 m．
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
[跟进训练]
1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，
∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
类型2 测量高度问题
【例2】 如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
[解] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得AMsin ∠MCA＝ACsin ∠AMC，
即1 20022＝AC32，解得AC＝6006(m)．
在△ACD中，因为tan ∠DAC＝CDAC＝33，
所以CD＝6006×33＝6002(m)．
即电视塔CD的高度为6002 m．
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[跟进训练]
2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．
150 [由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝1002 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝ACsin45°·sin 60°＝1003(m)，所以MN＝AM sin 60°＝1003×32＝150(m)．]
类型3 角度问题
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×-12，
即128t2－60t－27＝0，解得t＝34或t＝－932(舍去)，
∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理，
得sin ∠BAC＝BC·sin ∠ABCAC＝5314，
则cs ∠BAC＝1-75142＝1114．
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，
∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cs∠BAC－cs 45°sin ∠BAC＝112-5628．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
[跟进训练]
3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cs 120°＝196，
解得BC＝14，所以渔船甲的速度为BC2＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，
即sin α＝ABsin 120°BC＝6×3214＝3314．
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
D [如图所示．
]
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A．502 m B．503 m
C．252 m D．2522 m
A [∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，得AB＝100×22＝502(m)．]
3．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A．503 m B．1003 m C．50 m D．100 m
A [因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得ACsinD＝DCsin ∠DAC，所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503 m．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：
(1)A处与D处之间的距离为________海里；
(2)灯塔C与D处之间的距离为________海里．
(1)24 (2)83 [由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126．
由正弦定理得AD＝ABsin60°·sin 45°＝24海里．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，
∴CD＝83海里．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为83海里．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝14c2a2-c2+a2-b222．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝14c2a2sin2B＝14(c2a2－c2a2cs2B)，
又因为ca csB＝c2+a2-b22，所以
S2＝14c2a2-c2+a2-b222，
从而可知
S＝14 c2a2-c2+a2-b222．
课时分层作业(十五) 余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．103海里 B．1063海里
C．52海里 D．56海里
D [如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．
由正弦定理，得10sin45°
＝BCsin60°，
所以BC＝56(海里)．]
2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．52海里/时 B．5海里/时
C．102海里/时 D．10海里/时
D [如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．]
3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
B [如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，
由正弦定理得ABsin ∠ACB＝BCsin ∠BAC，
则BC＝21 00012×sin 15°＝10 500(6-2)，因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500(6-2)×22＝10 500(3－1)＝7 350，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
故选B．]
4．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
ACD [解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长．
对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；
对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；
对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；
对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE．
由于cs ∠ACB＝CBAC，cs ∠BCD＝CEBC，cs ∠ACE＝CEAC，
所以cs ∠ACE＝cs ∠ACB·cs ∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，
在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故选ACD．]
二、填空题
5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
2 [如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，ABsinC＝ACsin ∠ABC，
∴AC＝AB·sin ∠ABCsinC＝1×2212＝2(千米)．]
6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h，1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile．
202 [由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得ABsin ∠BCA＝ACsin ∠ABC，即
ABsin30°＝40sin135°，解得AB＝202 n mile．]
三、解答题
7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．
(1)求此山的高度(单位：km)；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ．
[解] (1)设此山高h(km)，则AC＝htan30°，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．
根据正弦定理得ACsin ∠ABC＝ABsin ∠BCA，即hsin120°·tan30°＝4sin15°，解得h＝2(6+2)(km)．
(2)由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，
所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝DCCE＝63．
8．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝( )
A．22a m B．a2 m C．32a m D．a m
A [由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴asin30°＝PBsin15°，∴PB＝6-22a m，∴h＝PC＋CQ＝6-22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a m，故选A．]
9．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝42 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．
7 [设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A，
即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cs 45°，解得x1＝5，x2＝373．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或－233(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]
10．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
[解] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝dsinα2sinα1+α2；
第二步：计算AN．
由正弦定理得AN＝dsinβ2sinβ2-β1；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝AM2+AN2-2AM·ANcsα1-β1．
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算BM．
由正弦定理得BM＝dsinα1sinα1+α2；
第二步：计算BN．由正弦定理得BN＝dsinβ1sinβ2-β1；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝BM2+BN2-2BM·BNcsπ-β2-α2．
学习任务
1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模)
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)
类型
简图
计算方法
A，B间不可达也不可视
测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝a2+b2-2acsC
B，C与点A可视但不可达
测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝asinCsinB+C
C，D与点A，B均可视不可达
测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
知识点 基线
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同．( )
(2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．( )
[答案] (1)√ (2)√
类型1 测量距离问题
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
[解] 因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cs 30°＝503(m)．
在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知
ACsin45°＝100sin60°，因此AC＝10063m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝100632＋(503)2－2×10063×503cs 45°＝12 5003，从而有AB＝50153 m．
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
[跟进训练]
1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，
∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
类型2 测量高度问题
【例2】 如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
[解] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得AMsin ∠MCA＝ACsin ∠AMC，
即1 20022＝AC32，解得AC＝6006(m)．
在△ACD中，因为tan ∠DAC＝CDAC＝33，
所以CD＝6006×33＝6002(m)．
即电视塔CD的高度为6002 m．
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[跟进训练]
2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．
150 [由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝1002 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝ACsin45°·sin 60°＝1003(m)，所以MN＝AM sin 60°＝1003×32＝150(m)．]
类型3 角度问题
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×-12，
即128t2－60t－27＝0，解得t＝34或t＝－932(舍去)，
∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理，
得sin ∠BAC＝BC·sin ∠ABCAC＝5314，
则cs ∠BAC＝1-75142＝1114．
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，
∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cs∠BAC－cs 45°sin ∠BAC＝112-5628．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
[跟进训练]
3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cs 120°＝196，
解得BC＝14，所以渔船甲的速度为BC2＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，
即sin α＝ABsin 120°BC＝6×3214＝3314．
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
D [如图所示．
]
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A．502 m B．503 m
C．252 m D．2522 m
A [∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，得AB＝100×22＝502(m)．]
3．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A．503 m B．1003 m C．50 m D．100 m
A [因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得ACsinD＝DCsin ∠DAC，所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503 m．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：
(1)A处与D处之间的距离为________海里；
(2)灯塔C与D处之间的距离为________海里．
(1)24 (2)83 [由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126．
由正弦定理得AD＝ABsin60°·sin 45°＝24海里．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，
∴CD＝83海里．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为83海里．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝14c2a2-c2+a2-b222．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝14c2a2sin2B＝14(c2a2－c2a2cs2B)，
又因为ca csB＝c2+a2-b22，所以
S2＝14c2a2-c2+a2-b222，
从而可知
S＝14 c2a2-c2+a2-b222．
课时分层作业(十五) 余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．103海里 B．1063海里
C．52海里 D．56海里
D [如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．
由正弦定理，得10sin45°
＝BCsin60°，
所以BC＝56(海里)．]
2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．52海里/时 B．5海里/时
C．102海里/时 D．10海里/时
D [如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．]
3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
B [如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，
由正弦定理得ABsin ∠ACB＝BCsin ∠BAC，
则BC＝21 00012×sin 15°＝10 500(6-2)，因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500(6-2)×22＝10 500(3－1)＝7 350，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
故选B．]
4．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
ACD [解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长．
对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；
对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；
对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；
对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE．
由于cs ∠ACB＝CBAC，cs ∠BCD＝CEBC，cs ∠ACE＝CEAC，
所以cs ∠ACE＝cs ∠ACB·cs ∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，
在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故选ACD．]
二、填空题
5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
2 [如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，ABsinC＝ACsin ∠ABC，
∴AC＝AB·sin ∠ABCsinC＝1×2212＝2(千米)．]
6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h，1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile．
202 [由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得ABsin ∠BCA＝ACsin ∠ABC，即
ABsin30°＝40sin135°，解得AB＝202 n mile．]
三、解答题
7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．
(1)求此山的高度(单位：km)；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ．
[解] (1)设此山高h(km)，则AC＝htan30°，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．
根据正弦定理得ACsin ∠ABC＝ABsin ∠BCA，即hsin120°·tan30°＝4sin15°，解得h＝2(6+2)(km)．
(2)由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，
所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝DCCE＝63．
8．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝( )
A．22a m B．a2 m C．32a m D．a m
A [由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴asin30°＝PBsin15°，∴PB＝6-22a m，∴h＝PC＋CQ＝6-22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a m，故选A．]
9．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝42 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．
7 [设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A，
即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cs 45°，解得x1＝5，x2＝373．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或－233(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]
10．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
[解] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝dsinα2sinα1+α2；
第二步：计算AN．
由正弦定理得AN＝dsinβ2sinβ2-β1；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝AM2+AN2-2AM·ANcsα1-β1．
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算BM．
由正弦定理得BM＝dsinα1sinα1+α2；
第二步：计算BN．由正弦定理得BN＝dsinβ1sinβ2-β1；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝BM2+BN2-2BM·BNcsπ-β2-α2．
学习任务
1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模)
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)
类型
简图
计算方法
A，B间不可达也不可视
测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝a2+b2-2acsC
B，C与点A可视但不可达
测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝asinCsinB+C
C，D与点A，B均可视不可达
测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
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