高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

第六章 平面向量及其应用

6.4 平面向量的应用

6.4.2 向量在物理中的应用举例

教学设计

一、教学目标

1.   掌握用向量方法解决物理问题；
2.   体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

二、教学重难点

1.   教学重点

掌握向量在物理中的应用.

2.   教学难点

将实际问题转化为向量问题.

三、教学过程

（一）        新课导入

上节课学习了向量在平面几何中的应用，下面我们在实例中一起来探究向量在物理中的应用.

（二）探索新知

例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

解：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，为方便起见，不妨设.另设的夹角为，旅行包所受的重力为.

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

.

这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.

同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.

小组探究：（1）当为何值时，最小？最小值是多少？

（2）能等于吗？为什么？

解：（1）要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为.

（2）若要使，只需，此时，即.

例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？

解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.

如图，设，则

.

此时，船的航行时间

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min.

（三）课堂练习

1.       平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，与的夹角为，则的大小为(   )

A.   B.   C.   D.

答案：C

解析：由已知得，则，

，

所以.故选C.

2.       如图所示，用两根长分别为和的绳子，将的物体吊在水平屋顶上.平衡后，G点距离屋顶恰好为，则A处所受力的大小为（绳子的重量忽略不计）(   )

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：由已知条件可知与竖直方向成角，与竖直方向成角，设A处受力为处受力为，则由题意可得，.解得.故选A.

3.       一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际的航行方向与水流方向成角，求水流速度大小和船的实际速度大小.

答案：如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，则.

∵四边形为矩形，∴，

∴，

∴水流速度为，船的实际速度为.

（四）        小结作业

小结：

用向量方法解决物理问题.

作业：

四、板书设计

6.4.2 向量在物理中的应用举例

向量在物理中的应用.