人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计

6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 【学习目标】 【自主学习】 一．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 ． 2.通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3.把运算结果“翻译”成几何关系． 二．向量在物理中的应用 1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 ． 2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 ．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算． 3.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)． 【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(CD,\s\up6(→))，则直线AB与直线CD平行．(　 　) (2)若四边形ABCD是矩形，则必有eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0.(　 　) (3)力的合成与分解体现了向量的加减运算．(　 　) (4)动量mv是数乘向量．(　 　) (5)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.(　 　) 【经典例题】 题型一 向量在平面几何中的应用 点拨：向量法解决平面几何问题的两种方法 1.基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． 2.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法. 例1 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长． 分析：本题是求线段长度的问题，转化为求向量的模来解决． 【跟踪训练】1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 题型二 向量在物理中的应用 例2 用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为 。 【跟踪训练】2已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)． (1)求F1，F2分别对质点所做的功； (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功． 【当堂达标】 1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(　 　) A．(8,0) B．(9,1) C．(－1,9) D．(3,1) 2.在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝0，eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为(　 　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 3.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2eq \r(26) m/s C．4eq \r(6) m/s D．12 m/s 4.在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝ . 5.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC． 求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小． 6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． 【参考答案】 【自主学习】 向量 向量问题 向量运算 向量 加减法运算 【小试牛刀】 (1) × (2) √ (3) √ (4) √ (5) √ 【经典例题】 例1 解 设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b， 而|eq \o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，① ∴|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b. ∵由①得2a·b＝1. ∴|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝6，∴|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6). 【跟踪训练】1 [证明]　证法一：设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0. 故eq \o(AF,\s\up6(→))⊥eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE. 证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \o(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq \o(AF,\s\up6(→))⊥eq \o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE. 例2 10N 解析：如图，由题意得|eq \o(OA,\s\up15(→))|＝|eq \o(OB,\s\up15(→))|，∠AOB＝120°，|eq \o(OG,\s\up15(→))|＝10 N，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形且∠CAO＝60°，eq \o(OC,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OB,\s\up15(→))，|eq \o(OC,\s\up15(→))|＝|eq \o(OG,\s\up15(→))|＝10 N，所以|eq \o(OA,\s\up15(→))|＝|eq \o(OB,\s\up15(→))|＝10 N. 【跟踪训练】2解：(1)eq \o(AB,\s\up15(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·eq \o(AB,\s\up15(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·eq \o(AB,\s\up15(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． 所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. (2)W＝F·eq \o(AB,\s\up15(→))＝(F1＋F2)·eq \o(AB,\s\up15(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)． 所以合力F对质点所做的功为－102 J. 【当堂达标】 1.B 解析：∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B． 2.D 解析：由eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \o(AB,\s\up6(→))＝－eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D． 3.B 解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq \r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝2eq \r(26)(m/s)．故选B. 4.16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq \r(2)，∠ABC＝45°，∴eq \o(BA,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝4eq \r(2)×4×cos45°＝16. 5. 解 (1)设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.∴|eq \o(AD,\s\up6(→))|2＝eq \o(AD,\s\up6(→))2＝(eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b)2＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cos120°＋eq \f(1,9)×9＝3. 故AD＝eq \r(3). (2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq \o(AD,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角． ∵cosθ＝eq \f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(2,3)a＋\f(1,3)b·b,\r(3)×3)＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×－\f(1,2),3\r(3))＝0， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90° 6.解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq \r(3))，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10eq \r(3))＋(20,0)＝(30,10eq \r(3))， 所以|v|＝eq \r(302＋10\r(3)2)＝20eq \r(3)(km/h)． 因为tanα＝eq \f(10\r(3),30)＝eq \f(\r(3),3)(α为v和v2的夹角，α为锐角)， 所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20eq \r(3) km/h.素 养 目 标学 科 素 养1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题． 2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法和步骤．1.数学运算; 2.数学抽象； 3.数学建模.