高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案设计

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小学的时候我们先学了自然数；为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数；慢慢又引入了负数；紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数；一步步地将数系扩充到实数系……
知识点1 复数的概念及其表示
1．复数与复数集
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
1．如何理解虚数单位i?
[提示] ①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
知识点2 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
知识点3 复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数b=0 虚数b≠0纯虚数a=0非纯虚数a≠0
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
2．复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
[提示] 不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni．
a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z＝bi是纯虚数．( )
(3)实数集与复数集的交集是实数集．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＝________；y＝________．
[答案] 0 5
类型1 复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系．
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同．
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
[跟进训练]
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
类型2 复数的分类
【例2】 当实数x取什么值时，复数z＝x2-x-6x+3＋(x2－2x－15)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)当x满足x2-2x-15=0，x+3≠0，
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足x2-2x-15≠0，x+3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足x2-x-6x+3=0，x2-2x-15≠0，x+3≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
[跟进训练]
2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．1或－1
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
(1)D (2)B [若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a2－1＝0，所以a＝±1．故选D．
(2)根据复数的分类知，需满足
a2-3a+2=0，a-1≠0，解得a=1或a=2，a≠1，所以a＝2．]
类型3 复数相等的充要条件
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[解] (1)由复数相等的充要条件，得
x+y=0，y=x+1，解得x=-12，y=12．
(2)设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－12且-122－12＋3m＝0，所以m＝112．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟进训练]
3．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－23＋i．
1．在2＋7，27i，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2．]
2．复数z＝12－32i的实部和虚部分别是( )
A．－12，－32B．12，－32
C．12，32 D．－12，32
B [复数z＝12－32i的实部为12，虚部为－32．
故选B．]
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________．
2 [∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴x-2=-1，y=1，
∴x=1，y=1，∴x＋y＝2．]
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，3＋2i，13-3i，π3i．
1＋i，πi，3＋2i，13-3i，π3i πi，π3i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，3＋2i，13-3i，π3i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，π3i都是纯虚数．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
[提示] 当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
2．两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
3．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
课时分层作业(十六) 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，
所以a＋b＝4．]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 ( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题意知m2-9=0，m+2>0，解得m＝3，故选B．]
3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”；“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
4．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
A [－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i．]
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．纯虚数的平方不小于0
B．2i是一个无理数
C．1－ai(a∈R)是一个复数
D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等
CD [纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；2∈R，故2i是纯虚数，故B错；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确，故选CD．]
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
－2 [由题意知，m2+m-2=0，m2-1≠0，
∴m＝－2．]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
n2-3m-1=-3，n2-m-6=-4⇒m=2，n=±2．]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2-1=0，x2+3x+2≠0，即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．当实数m取何值时，复数z＝mm+2m-1＋(m2＋2m－3)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且mm+2m-1有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且mm+2m-1有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足mm+2m-1＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
10．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B [由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
11．集合M＝{4，5，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为( )
A．－3 B．3 C．3或－3 D．－1
B [因为M∩N≠∅，所以M中的－3m＋(m－3)i必须为实数，
所以m＝3，此时实部恰为－9，满足题意．
故选B．]
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以n2+mn+2=0，2n+2=0，
解得m=3，n=-1．
所以z＝3－i．]
13．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
2 [因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．
则m2-1＞0，m2-2m=0⇒m＞1或m＜-1，m=0或m=2⇒m＝2．
所以m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
14．若复数z＝csθ-45＋sinθ-35i是纯虚数(i为虚数单位)，求tanθ-π4的值．
[解] ∵复数z＝csθ-45＋sinθ-35i是纯虚数，
∴cs θ－45＝0，sin θ－35≠0，又cs2θ＋sin2θ＝1，
∴cs θ＝45，sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，
∴tan θ-π4＝tanθ-11+tanθ＝-34-11-34＝－7．
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cs θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵z1为纯虚数，
∴4-m2=0，m-2≠0，解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得4-m2=λ+2sinθ，m-2=csθ-2，
∴λ＝4－cs2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6]．
学习任务
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(逻辑推理)
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(数学抽象)
3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．(数学运算)