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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理，共18页。
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
2．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
4．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ ．
7．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 三角形（直角、锐角、钝角）．
8．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ ．
9．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
10．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝ °．
三．解答题（共5小题）
11．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
12．如图所示，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
15．如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．
（1）试说明∠B为直角；
（2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；
B、三条边满足关系a2＝b2﹣c2，故正确；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
2．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断各个选项中的数据是否可以组成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：32+42＝52，故选项A不符合题意；
52+122＝132，故选项B不符合题意；
82+152＝172，故选项C不符合题意；
62+72≠92，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解答】解：如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，A不合题意；
如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则3x＝45°，4x＝60°，5x＝75°，
那么△ABC不是直角三角形，B符合题意；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，C不合题意；
如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，D不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能构成直角三角形；
②∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°75°，
∴不能构成直角三角形；
④∵a2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，b2+c2＝（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1，
∴a2＝b2+c2，
∴能构成直角三角形；
所以，能构成直角三角形的是①②④，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ 45° ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，
∴∠ABC＝45°，BC＝4，
∵BD＝7，DC＝9，
∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 直角 三角形（直角、锐角、钝角）．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．
8．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ 45° ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】作AD⊥BC，交CB的延长线于D，证明△ABD是等腰直角三角形，得出∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得出∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交CB的延长线于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．
9．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC＝45°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：延长AP至C，连接BC，
CP＝CB，
BP，
∵（）2+（）2＝（）2，即CP2+CB2＝BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠BPC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．
10．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据勾股定理逆定理可得△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°，从而得到∠CPB＝45°，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°，
∴∠CPB＝45°，
∵∠PAB+∠PBA＝∠CPB，
∴∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形外角的性质，根据勾股定理逆定理得到△PBC是等腰直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
AB•BCAC•CD
9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
12．如图所示，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】∠ABC的度数是45°．
【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后根据AC＝BC，从而可得∠ABC＝∠CAB＝45°，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
BC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ABC的度数是45°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
AB•BCAD•AC
2×21×2
＝2，
∴四边形ABCD的面积为2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）60．
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积AC•BC12×10＝60．
【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
15．如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．
（1）试说明∠B为直角；
（2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 66 ．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；
（2）66．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC25，进而推出AB2+BC2＝AC2，据此即可得解；
（2）根据题意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥CE，
∴∠D＝90°，
∵AD＝7，DC＝24，
∴∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角；
（2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC，
∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE，
∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD，
∵S△ABCBC•AB15×20＝150，S△ACDAD•CD7×24＝84，
∴S2﹣S1＝150﹣84＝66，
故答案为：66．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
考点卡片
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:58:20；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967
菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
2．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
4．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ ．
7．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 三角形（直角、锐角、钝角）．
8．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ ．
9．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
10．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝ °．
三．解答题（共5小题）
11．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
12．如图所示，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
15．如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．
（1）试说明∠B为直角；
（2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理的逆定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3
B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；
B、三条边满足关系a2＝b2﹣c2，故正确；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
2．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和各个选项中的数据，可以判断各个选项中的数据是否可以组成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：32+42＝52，故选项A不符合题意；
52+122＝132，故选项B不符合题意；
82+152＝172，故选项C不符合题意；
62+72≠92，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解答】解：如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，A不合题意；
如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则3x＝45°，4x＝60°，5x＝75°，
那么△ABC不是直角三角形，B符合题意；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，C不合题意；
如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，D不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④B．①②④C．②③④D．①②③
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能构成直角三角形；
②∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°75°，
∴不能构成直角三角形；
④∵a2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，b2+c2＝（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1，
∴a2＝b2+c2，
∴能构成直角三角形；
所以，能构成直角三角形的是①②④，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝ 45° ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，
∴∠ABC＝45°，BC＝4，
∵BD＝7，DC＝9，
∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 直角 三角形（直角、锐角、钝角）．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．
8．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ 45° ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45°．
【分析】作AD⊥BC，交CB的延长线于D，证明△ABD是等腰直角三角形，得出∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得出∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交CB的延长线于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．
9．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】45．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC＝45°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：延长AP至C，连接BC，
CP＝CB，
BP，
∵（）2+（）2＝（）2，即CP2+CB2＝BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠BPC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．
10．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据勾股定理逆定理可得△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°，从而得到∠CPB＝45°，再根据三角形外角的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴△PBC是等腰直角三角形，且∠PCB＝90°，
∴∠CPB＝45°，
∵∠PAB+∠PBA＝∠CPB，
∴∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形外角的性质，根据勾股定理逆定理得到△PBC是等腰直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
AB•BCAC•CD
9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
12．如图所示，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】∠ABC的度数是45°．
【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后根据AC＝BC，从而可得∠ABC＝∠CAB＝45°，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
BC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ABC的度数是45°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
AB•BCAD•AC
2×21×2
＝2，
∴四边形ABCD的面积为2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）60．
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积AC•BC12×10＝60．
【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
15．如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．
（1）试说明∠B为直角；
（2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 66 ．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；
（2）66．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC25，进而推出AB2+BC2＝AC2，据此即可得解；
（2）根据题意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥CE，
∴∠D＝90°，
∵AD＝7，DC＝24，
∴∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角；
（2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC，
∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE，
∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD，
∵S△ABCBC•AB15×20＝150，S△ACDAD•CD7×24＝84，
∴S2﹣S1＝150﹣84＝66，
故答案为：66．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
考点卡片
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:58:20；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967
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