2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之正方形的判定与性质

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之正方形的判定与性质，共32页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2B．3.4C．3.6D．4
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 （填序号）．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ ．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之正方形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】几何图形．
【答案】D
【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；
B、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的应用，能熟记平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的内容是解此题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2B．3.4C．3.6D．4
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF＝BE，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长．
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
【考点】正方形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得求得AC，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB，由勾股定理求出AH，BD，进而求出菱形ABCD面积和正方形ABCD面积，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝CB，AB＝BC＝4cm，AB2+CB2＝AC2，
∴AC2＝2×42，正方形ABCD面积＝42＝16（cm2），
∴AC＝BD＝4（cm），
在菱形ABCD中，连接AC，BD，过A作AH⊥BC于点H，
AB＝CB＝4，BO＝DO，AO＝CO，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝4cm，AO＝2，BH＝CH＝2，
∴BD＝2BO＝24，AH2，
菱形ABCD面积4×24（cm2），
故选项A不符合题意；
∵44＝4（1）（cm），
故选项B不符合题意；
∵444（）（cm），
故选项C不符合题意；
∵16﹣44（4）（cm2），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，证得菱形中△ABC是等边三角形是解题的关键．
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：
OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【考点】正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】D
【分析】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠BOF，
∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；
②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；
③∵△COE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∵∠CEO≠90°，
∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；
④∵△COE≌△BOF，
∴CE＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴DE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△BOF．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，由△DAB≌△FAQ求得AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，进而可得∠CAQ＝45°＝∠CAB，再由正方形的性质可得△ABC≌△AQC，于是BC＝QC，设BD＝FQ＝x，在直角△CEQ中利用勾股定理建立方程求解即可；
【解答】解：如图以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，
△DAB和△FAQ中：DA＝FA，∠ADB＝∠AFQ，DB＝FQ，
∴△DAB≌△FAQ（SAS），
∴AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAC+∠DAB＝∠DAC+∠FAQ＝45°，
∴∠CAQ＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
△ABC和△AQC中：AB＝AQ，∠BAC＝∠QAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△AQC（SAS），
∴BC＝QC，
设BD＝FQ＝x，
则QC＝BC＝x+3，QE＝EF﹣FQ＝7﹣x，CE＝DE﹣DC＝7﹣3＝4
在直角△CEQ中由勾股定理得：CQ2＝CE2+QE2，
∴（x+3）2＝16+（7﹣x）2
解得：，
故答案为：；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ 4.5 ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4.5．
【分析】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出DC的长即可．
【解答】解：分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°．
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF．
∴四边形AEGF是正方形，
∴AD＝AE＝AF＝EG＝GF＝9，BE＝BD＝3，CF＝DC＝x，
∴BG＝EG﹣BE＝6，CG＝GF﹣CF＝9﹣x．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（3+x）2＝（9﹣x）2+62
解得：x＝4.5，
∴DC＝4.5．
法二：过B作BG⊥AC于G，
∴AB，
∵sin∠BAG＝sin45°，
∴BG＝AG＝3，
∵，
∴AD2•BC2＝AC2•BG2，
设DC＝a，则BC＝3+a，AC，
可得：，
解得：a＝4.5，a＝﹣18（舍去），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ①②③④ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】根据正方形的性质得出EF＝GC，进而利用全等三角形的判定和性质判断①；
根据等腰三角形的内角和定理判断②；
根据正方形的判定判断③；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断④．
【解答】解：连接GC，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵AB＝BG，
∴∠BAG67.5°，
∴∠DAG＝∠BAD﹣∠BAG＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②正确；
当G是BD的中点时，G是AC，BD的交点，即G与O重合，
∴CECD，CFBC，
∴CE＝CF，
∴矩形GFCE是正方形，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积＝4，
∵DG：BG＝1：3，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一） ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明，根据正方形的判定方法即可得到结论．
【解答】解：（1）如果AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）那么四边形ABCD为正方形；
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
①添加条件AB＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
②∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【考点】正方形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）20．
【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积AC•BD10×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质和判定，关键是掌握菱形的基本性质．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．ACAB＝2，
∵EC，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②3．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
考点卡片
1．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
8．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
9．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
12．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
13．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:24:33；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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