2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之菱形

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之菱形，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•福鼎市期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
2．（2021春•永春县校级期中）菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16B．16C．16D．8
3．（2021春•岱岳区期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝31°，则∠OBC的度数为（ ）
A．31°B．49°C．59°D．69°
4．（2021•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
5．（2021春•滨江区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①③④C．①②③D．②③④
6．（2021•邹城市一模）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（ ）
A．BE⊥CEB．BF∥CEC．BE＝CFD．AB＝AC
7．（2014•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
8．（2021•连云港）在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F．要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A．AD⊥BCB．∠BAD＝∠CADC．BD＝DCD．AD＝BC
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•皇姑区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为 时，四边形QPCP′为菱形．
10．（2021春•环江县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为 ．
11．（2021•营口模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
12．（2014•泸州）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为 ．
13．（2013•牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•桦南县期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
15．（2021•东胜区模拟）如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
16．（2021秋•福鼎市期中）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．
17．（2021春•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，过点A作AF∥BC，连接DF交AC于E，若E是DF中点．请你判断四边形ADCF的形状，并证明．
18．（2021春•灌阳县期中）如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，AB＝2，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．
19．（2021•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．
20．（2021春•徐闻县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E是BC的中点，连接AE，若
∠ABC＝60°，BE＝2cm，求：
（1）菱形ABCD的周长；
（2）菱形ABCD的面积．
21．（2021•泰安模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝5，求线段PC的长．
22．（2021•武汉校级模拟）如图△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，过E作EF∥AB交BC于F．
（1）求证：四边形DBFE为平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE为菱形，请说明理由．
23．如图，E是△ABC的AC边中点，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F．
（1）求证：EF＝DE；
（2）连接CD、AF，若△ABC中∠ACB为直角，点D满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？说明理由．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之菱形
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021秋•福鼎市期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由菱形的性质可得OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．
2．（2021春•永春县校级期中）菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是（ ）
A．16B．16C．16D．8
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由菱形的性质求出AD的长，由直角三角形的性质可求DE的长，即可求解．
【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥BC于点E，
在菱形ABCD中，周长是16，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，
∴菱形ABCD的面积S＝DE×AB＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的四边相等是解题的关键．
3．（2021春•岱岳区期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝31°，则∠OBC的度数为（ ）
A．31°B．49°C．59°D．69°
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝31°，
∴∠BCA＝∠DAC＝31°，
∴∠OBC＝90°﹣31°＝59°．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
4．（2021•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
【考点】菱形的判定．
【答案】D
【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD＝DE即可解决问题．
【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021春•滨江区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①③④C．①②③D．②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【答案】A
【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；
由菱形的性质得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；
证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG＝AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，
∴①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△DBG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO≌△BAG≌△DBG≌△EDG，
∴②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；
③不正确；
正确的是①④．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
6．（2021•邹城市一模）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（ ）
A．BE⊥CEB．BF∥CEC．BE＝CFD．AB＝AC
【考点】菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和已知求出EF⊥BC，BD＝DC，先根据平行四边形的判定得出四边形BECF是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．
【解答】解：条件是AB＝AC，
理由是：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD＝DC，
∵DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
选项A、B、C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，
即只有选项D正确，选项A、B、C都错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能熟记菱形的判定定理是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
7．（2014•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【答案】B
【分析】分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD＝S菱形ABCD，S△ABC＝S菱形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．
8．（2021•连云港）在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F．要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A．AD⊥BCB．∠BAD＝∠CADC．BD＝DCD．AD＝BC
【考点】菱形的判定．
【专题】证明题．
【答案】B
【分析】由题意可得，四边形AEDF是平行四边形，因为△ABC不是等腰三角形，所以添加A、C都不能使四边形AEDF是菱形；添加B，可证∠EAD＝∠EDA，则AE＝DE，即平行四边形AEDF是菱形．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠EDF，
利用选项B中，∠BAD＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
即平行四边形AEDF是菱形．
故选：B．
【点评】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•皇姑区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为 时，四边形QPCP′为菱形．
【考点】菱形的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接PP′交CQ于D，根据菱形的对角线互相垂直平分可得PP′⊥CQ，CD＝DQ，用t表示出CD，过点P作PO⊥AC于O，可得四边形CDPO是矩形，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠A＝45°，从而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根据矩形的对边相等列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接PP′交CQ于D，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥CQ，CD＝DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴CD＝CQ＝（8﹣t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD＝PO，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴PO＝AP，
∵点P的运动速度是每秒cm，
∴PO＝×t＝tcm，
∴（8﹣t）＝t，
解得t＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出矩形和等腰直角三角形是解题的关键．
10．（2021春•环江县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为 20 ．
【考点】菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由菱形ABCD，根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，易得AB＝5；根据菱形的四条边都相等，可得菱形的周长L＝20．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝＝5，
∴菱形的周长L＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．
11．（2021•营口模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
【考点】菱形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD＝OB，CD＝CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD＝AB﹣2OB．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB•OC＝AC•BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
12．（2014•泸州）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为 4 ．
【考点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
【解答】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．
13．（2013•牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 （）n﹣1 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．AC⊥DB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，
∴BM＝，
∴AM＝，
∴AC＝，
同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•桦南县期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【考点】菱形的判定．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；
（2）首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
【解答】证明：（1）∵AE∥BF，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD；
（2）∵△BAC是等腰三角形，
∴AB＝CB，
∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，
∴△ABD也是等腰三角形，
∴AB＝AD，
∴DA＝CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，难度不大．
15．（2021•东胜区模拟）如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【考点】三角形中位线定理；菱形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只要证明四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；
（2）∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，解题的关键是灵活应用菱形的两个面积公式解决问题，掌握由120°这个条件推出等边三角形的方法，属于中考常考题型．
16．（2021秋•福鼎市期中）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】根据菱形的性质和AAS证明△AED≌△CFD，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AB＝BC，AD∥BC，AB∥CD．
∴∠A+∠ABC＝180°，
∠C+∠ABC＝180°．
∴∠A＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴AE＝CF．
∴AB﹣AE＝BC﹣CF．
即：BE＝BF．
【点评】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2021春•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，过点A作AF∥BC，连接DF交AC于E，若E是DF中点．请你判断四边形ADCF的形状，并证明．
【考点】平行线的性质；含30度角的直角三角形；菱形的判定．
【专题】图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．
【解答】解：四边形ADCF是菱形．
证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE，
∵E是DF中点，
∴EF＝ED，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA）．
∴AF＝CD，AE＝CE，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC＝2AE，AC＝2AB，
∴AB＝AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△ABD和△AED中，
∴△AED≌△ABD（SAS）．
∴∠AED＝∠B＝90°，
即DF⊥AC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
18．（2021春•灌阳县期中）如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，AB＝2，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由在菱形ABCD在，AE⊥BC，BE＝CE，易证得△ABC是等边三角形，继而求得∠BAD的度数；
（2）由（1），可求得AC的长，由菱形的性质可知其四边相等，进而可求出其周长．
【解答】解：（1）∵在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，
∴△ABC等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAD＝2∠BAC＝120°；
（2）∵AB＝2，AB＝AC
∴AC＝AB＝2，
菱形ABCD的周长＝4AB＝8．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，此题难度不大，熟记菱形的各种性质是解题关键．
19．（2021•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．
【考点】菱形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME＝MD即可证明．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．
【解答】证明：（1）如图2中，
∵AM＝ME．AD＝DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE＝180°，
∵∠GDN＝∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE＝180°，
∴AE∥DN，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵DM＝BE，EM＝AE，AE＝BE，
∴DM＝EM，
∴四边形DMEN是菱形．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．
由（1）可知四边形EMDF是菱形，
∴∠AEB＝∠MDF，DM＝DF，
∴∠GDN＝∠AEB，
∴∠MDF＝∠GDN，
∴∠MDG＝∠FDN，
∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、
在Rt△ACE中，∵AM＝ME，
∴CM＝ME，
∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD，
∴∠DMG＝∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG＝DN．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（2021春•徐闻县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E是BC的中点，连接AE，若
∠ABC＝60°，BE＝2cm，求：
（1）菱形ABCD的周长；
（2）菱形ABCD的面积．
【考点】菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，再利用BE＝2cm得出菱形边长，进而得出答案；
（2）直接利用已知得出△ABC是等边三角形，进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E为BC的中点，BE＝2cm，
∴BC＝2BE＝4cm，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16cm．
（2）∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
根据勾股定理，得
∴AE＝＝＝2（cm），
∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8（cm2）．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出AE的长是解题关键．
21．（2021•泰安模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝5，求线段PC的长．
【考点】菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDC＝∠BDA，然后利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可
（2）利用两组角相等则两三角形相似证明△APE与△FPA；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，AD＝CD，∠BDC＝∠BDA，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
∴．
∴PA2＝PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA＝PC．
∴PC2＝PE•PF，
∵PE＝4，EF＝5，
∴PF＝9，
∴PC＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．
22．（2021•武汉校级模拟）如图△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，过E作EF∥AB交BC于F．
（1）求证：四边形DBFE为平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE为菱形，请说明理由．
【考点】平行四边形的判定；菱形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得出BD＝BF，推出AB＝BC即可．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
23．如图，E是△ABC的AC边中点，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F．
（1）求证：EF＝DE；
（2）连接CD、AF，若△ABC中∠ACB为直角，点D满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？说明理由．
【考点】等腰三角形的判定；菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF＝DE，即可解决问题；
（2）首先证明四边形ADCF是平行四边形，点D为AB中点时，可得DE是△ABC的中位线，进而可得DF∥BC，根据平行线的性质可得∠AED＝∠ACB＝90°，证明AC⊥DF，进而可证出四边形ADCF是菱形．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝FE．
（2）解：点D为AB中点时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵DE＝FE，AE＝AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵点D为AB中点，E是△ABC的AC边中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DF∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题主要考查了全等三角形和判定、菱形的判定，以及三角形的中位线定理的知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
5．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
6．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
7．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
10．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
11．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
12．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．