2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理，共20页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。

1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225B．200C．150D．无法计算
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
4．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
5．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 ．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 ．
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 秒．
三．解答题（共5小题）
11．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，AB＝10，CD＝3．
（1）求DE和BE的长；
（2）求△ADB的面积．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，CD⊥AB，D为垂足．求CD的长．
14．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．
（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；
（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225B．200C．150D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积BC•CAAB•CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4，
∴BD1.8，
∵E是AB的中点，
∴BEAB＝2.5，
∴DE＝BE﹣BD＝0.7．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长．
4．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
5．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【答案】D
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BDBC＝5，
∴AD12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•ADAB•ED，
∴ED，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 13 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边长13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 14或4 ．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 2π ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】2π．
【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
【解答】解：由题意，得，，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
故答案为：2π．
【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】先作BE⊥AC于点E，然后根据AAS证明△BAE≌△ADC，从而可以得到AE＝CD，再根据勾股定理即可得到CD的长．
【解答】解：作BE⊥AC于点E，如图所示，
则∠BEA＝90°，
∵AB＝BC＝AD＝5，
∴点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠D＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAE＝∠D，
又∵AB＝AD，∠BEA＝∠ACD＝90°，
∴△BAE≌△ADC（AAS），
∴AE＝DC，
∴AC＝2AE＝2CD，
设CD＝x，则AC＝2x，
∵AD＝5，∠ACD＝90°，
∴x2+（2x）2＝52，
解得x1，x2（不合题意，舍去），
即CD，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 5或或4 秒．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5或或4．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，
由勾股定理得：，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴，
∴t＝10÷2＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：，
∴；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得：，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝16，
∴，
∴t＝8÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△CDA中，利用勾股定理求出AD的长，然后求出BD的长，最后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出CB的长度．
【解答】解：在Rt△CDA中，
∵AC＝AB＝5，CD＝3，
∴AD4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，
在Rt△CBD中，BC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长，此题难度不大．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，AB＝10，CD＝3．
（1）求DE和BE的长；
（2）求△ADB的面积．
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）DE的长为3，BE的长为4；
（2）15．
【分析】（1）根据角平分线的性质及全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠C，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝6，
∴AE＝6，
∵AB＝AE+EB＝10，
∴EB＝4，
因此DE的长为3，BE的长为4．
（2）∵AB＝10，DE⊥AB，
又∵DE＝3，
∴S△ADBAB•DE10×3＝15，
∴△ABD的面积为15．
【点评】本题主要考查角平分线的性质和三角形面积的计算，找到CD、DE之间的关系是解题的关键．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，CD⊥AB，D为垂足．求CD的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出CD的长即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴由勾股定理得，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，
14．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、．
【考点】勾股定理．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）、（2）根据勾股定理画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．
（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；
（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）；
（2）5或．
【分析】（1）依题意，AP＝t，利用勾股定理即可求得t的值；
（2）分情况讨论：AB＝BP时，直接可得t的值；BP＝AP时，在Rt△APC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴，
∴CP＝t﹣4，
由∠ACP＝∠BAP＝90°，
可得AP2＝t2﹣25＝（t﹣4）2+9，
解得，
所以t的值为；
（2）当AB＝BP时，t＝5．
当BP＝AP时，
∴CP＝4﹣t，
在Rt△APC中，可得9+（4﹣t）2＝t2，
解得．
综上所述，t的值为5或．
【点评】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:56:48；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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