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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等边三角形的性质
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A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
3．如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
4．边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CD上的点，且AD＝BD，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6B．8C．12D．9
5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
二．填空题（共5小题）
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm．
7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ °．
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
9．如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CEG＝ ．
10．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止．设运动时间为t（s），当t＝ s时，△PBQ是直角三角形．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
12．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
13．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
14．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
15．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ；当M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等边三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
【考点】等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键．
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
3．如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠ACB＝105°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
4．边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CD上的点，且AD＝BD，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6B．8C．12D．9
【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】作点D关于BC，AC的对称点为G，H，得到DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，即当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【解答】解：作点D关于BC，AC的对称点为G，H，则：DG⊥BC，DH⊥AC，
∴DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，
∴当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，
∵边长为4的等边三角形ABC中，AD＝BD，
∴∠A＝∠B＝60°，AD＝BD＝2，
∴∠BDM＝30°，
∴，，
∴，
同法可得：，
∴∠GDH＝180°﹣2×30°＝120°，DG＝DH，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，
过点D作DN⊥GH，则：；
∴蚂蚁所走的最短路程为6；
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题．
5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 15 cm．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】15．
【分析】连接AB，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得出△OAB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出A，B两点之间的距离
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵OA＝OB＝15cm，∠A＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ 30 °．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意易得∠B＝60°，∠ADB＝90°，进而问题可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；
故答案为30．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】20．
【分析】连接AB．利用等边三角形的判定可得结论．
【解答】解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键．
9．如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CEG＝ 40° ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】由对顶角相等可得∠CGE＝∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度数，进而利用三角形内角和得出答案．
【解答】解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG
∵∠ADF＝80°
∴∠BDE＝∠EDF＝50°
∴∠B＝60°
∴∠BED＝∠DEG＝70°
∴∠CEG＝180°﹣70°﹣70°＝40°
故答案为：40°
【点评】本题考查了翻折变换问题；得到∠CGE等于∠ADF的度数的关系是解决本题的关键．
10．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止．设运动时间为t（s），当t＝ 1或2 s时，△PBQ是直角三角形．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】1或2．
【分析】分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQBP，
即t（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BPBQ，
∴3﹣tt，
∴t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：1或2．
【点评】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】△APQ是等边三角形，理由见解析．
【分析】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP＝AQ，再证明∠BAC＝∠PAQ＝60°即可证明△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
12．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC的周长为48．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得出结论；
（2）由CF＝4可得出DC＝2CF＝8，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°，，
∵CE＝CD，
∴，
∴∠CBD＝∠E＝30°．
∴DB＝DE；
（2）解：∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝2CF＝8．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用．
13．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BFBC，最后根据AB＝12即可求得BF的长．
【解答】解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；
（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
14．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）△CEF是等边三角形，理由见解析；
（2）6．
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 BC中点 ；当M、N运动 6 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【考点】等边三角形的性质；一元一次方程的应用；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）BC的中点，6；
（2）M、N运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．
【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可；
（2）列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）当点N第一次到达B点时，
t＝18÷2＝9（s），
∴M运动了1×9＝9（cm），
∴点M的位置在BC中点；
当点N追上点M时，
由题意得：2t＝1×t+6，
∴t＝6，
∴当M、N运动6秒时，点N追上点M，
故答案为：BC中点，6．
（2）如图，AM＝AN，
作AH⊥BC于H，
∴HC＝HB，HM＝HN，
∴MC＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
∴t＝8，
∴M、N运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于t的方程．
考点卡片
1．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
3．如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
4．边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CD上的点，且AD＝BD，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6B．8C．12D．9
5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
二．填空题（共5小题）
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm．
7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ °．
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
9．如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CEG＝ ．
10．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止．设运动时间为t（s），当t＝ s时，△PBQ是直角三角形．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
12．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
13．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
14．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
15．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ；当M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等边三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
【考点】等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键．
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
3．如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠ACB＝105°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
4．边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CD上的点，且AD＝BD，有一只蚂蚁从点D出发，经过点E，F，最后回到点D，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）
A．6B．8C．12D．9
【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】作点D关于BC，AC的对称点为G，H，得到DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，即当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【解答】解：作点D关于BC，AC的对称点为G，H，则：DG⊥BC，DH⊥AC，
∴DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，
∴当G，E，F，H四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，
∵边长为4的等边三角形ABC中，AD＝BD，
∴∠A＝∠B＝60°，AD＝BD＝2，
∴∠BDM＝30°，
∴，，
∴，
同法可得：，
∴∠GDH＝180°﹣2×30°＝120°，DG＝DH，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，
过点D作DN⊥GH，则：；
∴蚂蚁所走的最短路程为6；
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题．
5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝15cm，当衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 15 cm．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】15．
【分析】连接AB，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得出△OAB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出A，B两点之间的距离
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵OA＝OB＝15cm，∠A＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ 30 °．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意易得∠B＝60°，∠ADB＝90°，进而问题可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；
故答案为30．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】20．
【分析】连接AB．利用等边三角形的判定可得结论．
【解答】解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键．
9．如图，点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80°，则∠CEG＝ 40° ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】由对顶角相等可得∠CGE＝∠FGB1，由两角对应相等可得△ADF∽△B1GF，那么∠CGE等于∠ADF的度数，进而利用三角形内角和得出答案．
【解答】解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG
∵∠ADF＝80°
∴∠BDE＝∠EDF＝50°
∴∠B＝60°
∴∠BED＝∠DEG＝70°
∴∠CEG＝180°﹣70°﹣70°＝40°
故答案为：40°
【点评】本题考查了翻折变换问题；得到∠CGE等于∠ADF的度数的关系是解决本题的关键．
10．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止．设运动时间为t（s），当t＝ 1或2 s时，△PBQ是直角三角形．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】1或2．
【分析】分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQBP，
即t（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BPBQ，
∴3﹣tt，
∴t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：1或2．
【点评】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】△APQ是等边三角形，理由见解析．
【分析】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP＝AQ，再证明∠BAC＝∠PAQ＝60°即可证明△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
12．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC的周长为48．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得出结论；
（2）由CF＝4可得出DC＝2CF＝8，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°，，
∵CE＝CD，
∴，
∴∠CBD＝∠E＝30°．
∴DB＝DE；
（2）解：∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝2CF＝8．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用．
13．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BFBC，最后根据AB＝12即可求得BF的长．
【解答】解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；
（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
14．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）△CEF是等边三角形，理由见解析；
（2）6．
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 BC中点 ；当M、N运动 6 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【考点】等边三角形的性质；一元一次方程的应用；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）BC的中点，6；
（2）M、N运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．
【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可；
（2）列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）当点N第一次到达B点时，
t＝18÷2＝9（s），
∴M运动了1×9＝9（cm），
∴点M的位置在BC中点；
当点N追上点M时，
由题意得：2t＝1×t+6，
∴t＝6，
∴当M、N运动6秒时，点N追上点M，
故答案为：BC中点，6．
（2）如图，AM＝AN，
作AH⊥BC于H，
∴HC＝HB，HM＝HN，
∴MC＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
∴t＝8，
∴M、N运动的时间是8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于t的方程．
考点卡片
1．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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