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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计，文件包含第04讲平面向量的数量积教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc、第04讲平面向量的数量积学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点
1．平面向量数量积的物理背景
物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个矢量也可以进行运算．
2．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(inner prduct)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 (prjectin)．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投
影的乘积．
3．平面向量数量积的性质与运算律
（1）平面向量数量积的性质
由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有：
；
或；
当与同向时，；当与反向时，；
④，其中是非零向量与的夹角；
⑤，当且仅当向量共线，即时等号成立．
（2）平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：
已知向量和实数，则
交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：．
（3）两个结论
①；
②．
【微点拨】1.两向量的夹角要共起点且夹角的范围为；2.当两非零向量垂直时，向量的投影是点.
【即学即练1】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cs=.若n⊥（tm+n），
则实数t的值为（ ）
A.4 B.–4 C. D.–
【答案】B
【解析】由，可设，又，所以
.
所以，故选B.
【即学即练2】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】设，，∴，，
，∴，故选B.
【即学即练3】已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ）
A．–1B．1
C．D．
【答案】B
【解析】设向量与a的夹角为θ，则：csθ=，∴在向量a上的投影为：．故选B．
【即学即练4】已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A．150°B．90°
C．60°D．30°
【答案】C
【解析】由题意可得=2×1cs60°=1，设向量与的夹角等于θ，∵（）2=–2+=4–2×1+1=3，（）2=+4+4=4+4×1+4=12，∴||=，||==2，而（）（）=+–2=4+1–2=3，由此可得csθ=．再由0°≤θ≤180°，可得θ=60°，故选C．
【即学即练5】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
【答案】
【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，
在等腰梯形ABCD中,由∥,
得,, ,
所以=
【即学即练6】已知不共线的向量，，，.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【解析】（1）设的夹角为，∵，∴，
又，可得，∴.
（2）.
【名师点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.求解时，（1）先计算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式计算求值.
能力拓展
考法01
1．平面向量数量积的概念及运算律：
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(inner prduct)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角
【典例1】下列判断：
①，则；
②已知是三个非零向量，若，则；
③共线；
④；
⑤；
⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角；
⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长．
其中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】由于，所以若，则，故①正确；
若，则，又是三个非零向量，所以，所以，②正确；
共线，所以③错;
对于④，应有，所以④错;
对于⑤，应该是，所以⑤错；
当的夹角为0°时，也有，因此⑥错;
表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故⑦错．综上可知①②正确．
【名师点睛】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
【典例2】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．与不垂直
C． D．
【答案】ACD
【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；
选项B，，
∴与垂直，即B错误；
选项C，∵与不共线，
∴若，则显然成立；
若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；
选项D，，即D正确.
故选：ACD
【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.
【典例3】已知，，与的夹角是，计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出的值；
（2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出的值.
【详解】
（1）；
（2）
.
【典例4】已知，且，，，求的值.
【答案】.
【分析】
依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，所以
可得：，故：.
同理可得，，
所以；
【即学即练7】下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误，，故.
⑤错误，.
综上所述，正确的个数为，故选B.
【名师点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，属于基础题.求解时，根据向量数量积的运算知识，对五个关系式逐一分析，由此判断出正确的个数.
考法02
2．求向量的数量积、投影、模、夹角
（1）向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角，记作．
②范围：夹角θ的范围是[0，180°]．
当θ=0°时，两向量a，b共线且同向；
当θ=90°时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ=180°时，两向量a，b共线但反向．
③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
（2）向量的投影
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
【典例5】若，，，则______．
【答案】
【分析】
利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，
则，
故答案为：.
【典例6】已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______．
【答案】
【分析】
根据向量投影的定义即可求解.
【详解】
向量在向量上的投影的数量是，
故答案为：.
【典例7】已知，与的夹角大小为，则______．
【答案】
【分析】
根据题意，结合模长公式以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】
根据题意，得
.
故答案为：.
【典例8】在中，，，，则______．
【答案】##
【分析】
根据题意，结合数量积的计算公式，即可求解.
【详解】
根据题意，由，
得，因为，所以.
故答案为：.
【即学即练8】
（1）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1－2e2，则|a|=________．
（2）已知，则向量在方向上的投影为________．
（3）若，且，则向量与的夹角为________．
（4）已知，与的夹角为120°，则________．
【答案】（1）3；（2）；（3）120°；（4）．
【解析】（1）因为a2=(3e1−2e2)2=9−2×3×2×cs α＋4=9，所以|a|=3．
（2）因为，所以在方向上的投影为．
（3）由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．
（4）．
【名师点睛】（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角．
（2）求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
考法03
平面向量数量积的综合应用
【典例9】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）或
（3）
【分析】
（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
（1）
解：因为，，，所以；
（2）
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
（3）解：因为，所以，所以.
【典例10】在中，，，当时，判断的形状．
【答案】直角三角形或钝角三角形.
【分析】
根据向量数量积的定义可得，即有或，由此可得答案.
【详解】
解：因为在中，，， ，
所以，即，又，所以，即，
所以或，
所以是直角三角形或钝角三角形.
【典例11】．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【详解】
证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
【典例12】【易错典例】已知中，，则 ．
【错解】如图，因为，
所以．
【正解】因为，，
所以．
【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量的起点不相同，所以它们的夹角并非角C．如上图所示，其夹角应该是角C的补角，即=120°．
【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点)．
【即学即练9】若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】
由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.
【详解】
中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.
故选：B
分层提分
题组A 基础过关练
1．若平面单位向量，，不共线且两两所成角相等，则=（ ）
A．B．3
C．0D．1
【答案】C
【解析】设向量，，两两所成的角为，则平面不共线向量，，的位置关系只有一种，即两两所成的角为，所以.
当时，，故选C.
【名师点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是，意在考查向量数量积求模的基本知识.求解时，首先判断向量两两所成的角为，再根据计算结果.
2. 若，，，的夹角为135°，则（ ）
A．B．C．D．12
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
3. 若，，，的夹角为135°，则（ ）
A．B．C．D．12
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
4. 设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－B．－
C．D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选A．
【名师点睛】本题考查平面向量的投影，考查平面向量数量积的运算律、定义以及利用平面向量数量积求模，解题时，要理解向量有关的定义，并熟练应用向量数量积的运算律和定义来解题，考查计算能力，属于中等题.利用平面向量数量积的运算律与定义计算出和，可得出在方向上的投影为.
5. 已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
向量数量积不满足结合率﹒
【详解】
A：，A正确；
B：设，则，
设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
6. 已知平面上三点A、B、C满足则的值等于
A．-25B．-20C．-15D．-10
【答案】A
【分析】通过勾股定理判断出,利用向量垂直的充要条件求出,利用向量的运算法则及向量的运算律求出值.
【详解】由得，所以，
所以
故答案为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.
7. 如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得；
【详解】
解：根据正六边形的几何性质，可知，，，．
，，，
．比较得最大，
故选：A.
8. 如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】
利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，所以，
所以，
故选：C.
9. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
10. 已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量数量积运算律,集合平面向量数量积定义即可求得与的夹角.
【详解】
由平面向量数量积运算律化简可得
∵
∴.
知均为单位向量,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
.
又∵,
∴.
故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算律,由平面向量数量积的定义求夹角,属于基础题.
11. 若是互相垂直的单位向量且，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】
由，可得，再求解即可.
【详解】
解：由是互相垂直的单位向量，
则且，
又，
则，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题.
12. 在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由得，充分性成立，是钝角三角形，钝角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.
【详解】
解：设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.
13. 平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】
解：如图，根据题意：，，且，，，
．
故选：．
【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
14. 已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，可得，利用数量积公式，化简整理，即可得结果.
【详解】
设向量，的夹角为，
由题得，
所以==，
又，
所以.故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用、求向量的夹角问题，考查分析理解，化简求值的能力，属基础题.
15. 已知向量，为平面内的单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量与共线，由共线定理可知，从而可将用向量，表示，平方后即可求出的最小值.
【详解】因为向量与共线，所以存在唯一的实数，使得，所以，
所以，又向量，为平面内的单位向量，所以，，又，所以，
所以，所以的最小值为.故选：D
【点睛】关键点点睛：本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将用向量，表示，再通过平方转化为二次函数最值问题.
题组B 能力提升练
1. 为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（ ）
A．以AB为底面的等腰三角形
B．以BC为底面的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
【答案】B
【详解】
试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．
因此可知
，所以可知为
故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.
考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
2. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
3. 已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于的方程有实根
设与的夹角为，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
4. 在中，，设点满足，，．若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
用表示后可用表示，从而可求的值.
【详解】
如图，设 ，则，
又 = =，，
∴= ==，
即，
故选：B．
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，一般有定义法、基底向量法、坐标法等，注意根据题设条件的特征选择合适的方法来计算，本题属于中档题.
5. （多选）在中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
根据向量点积运算公式将选项中的向量点积展开，再由向量点积的几何意义得到结果即可.
【详解】
对于A选项，，根据向量的几何意义得到
，故选项正确；
对于B选项，，由向量的几何意义得到
，故选项错误；
对于C选项，，故选项错误；
对于D选项， ，
，故选项正确；
故选：AD
6. （多选）已知向量，均为单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】
由题意和，求得，可判定A正确，D不正确；再根据向量运算法则，分别求得，，所以B、C正确；
【详解】
由题意，向量，均为单位向量，且，
则，解得，
所以，所以A正确，D不正确；
由，所以B正确；
由，所以C正确.
故选：ABC
7. (多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）
A．
B．，反向
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
需对以上四个命题逐一判断，依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.
【详解】
A. (为与的夹角)，
由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题；
B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题；
C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题.
D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有
，反过来由也推不出.故命题D是假命题.
故选：ABC
8. （多选题）设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．不与垂直
D．
【答案】BD
【分析】
由向量数量积的定义以及数乘向量的定义可判断A；由向量的运算法则以及模的性质可判断B；利用向量垂直的充要条件可判断C；由向量数量积的运算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由于，，是不共线的向量，因此与共线，与共线，与不一定相等，故选项A错误；
对于B：由于，不共线，故，，构成三角形，由三角形两边之差小于第三边可知，故选项B正确；
对于C：由于，所以与垂直，故选项C不正确；
对于D：根据向量数量积的运算可以得，
故选项D正确，
故选：BD.
9. （多选题）若向量，为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数m可取的值有（ ）
A．B．C．0D．
【答案】AC
【分析】
根据且不同向，由此列出关于的不等式求解出结果.
【详解】
因为与的夹角为锐角，所以，
所以，所以，所以，
当共线时，不妨设，所以，所以，
显然时，同向，
所以的取值范围是，
故选：AC.
10.（多选题）在△中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
由可得点为的中点，然后根据平面向量的数量积运算结合图形分别计算，从而分析判断
【详解】
解：对于A，因为所以点为的中点，
所以，所以A错误，
对于B，因为点为的中点，所以，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以
，所以D正确，
故选：BCD
11.已知平面向量、满足，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，由条件可得出，进而可推出，然后利用辅助角公式可求得的最大值.
【详解】
，则，
设与的夹角为，则，，
，，可得，
，则，
所以，，
，则，所以，当时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量模的最值，考查辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，，则的值为_______.
【答案】5
【分析】
由题意可知，为外接圆的圆心，在圆中，延长交于点，已知等式两边同乘以得：，同理得：，从而有：.
【详解】
由题意可知，为外接圆的圆心，设半径为，在圆中，过O作，
，两边乘，
，
，得，
同理两边乘，,
，得，
从而有：.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，属于中档题.
13．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
【答案】
【分析】
根据平面向量垂直的性质可得，进而可得、，再根据投影的公式代入求解即可.
【详解】
，，，
，，
向量在向量上的投影的数量为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力.
14．如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
设，可得出，计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的最小值.
【详解】
设，
则，
，，则，
所以，
.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
15. 如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.
【答案】
【分析】
将均用表示出来，进而将，表示成与相关，可以求出 ，同时可用表示，即可求出结果.
【详解】
因为，
，
因此，
故答案为：.
【点睛】
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
C 培优拔尖练
1. 在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
【答案】
（1）（或）
（2）
【分析】
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
（1）
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
（2）
在上的投影为，
在上的投影向量为．
2. 已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求k的最小值．
【答案】
【分析】
由得，再由与垂直，转化得，结合二次函数性质可求k的最小值．
【详解】
因为，所以，
又与垂直，所以，
即，又，，所以，
，当时，取到最小值.
3. 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
【答案】.
【分析】
根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.
【详解】
因为，， 与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，可得：.
4. 在中，中线.
（1）若，求证：；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值-2.
【分析】
（1）由点是线段的中点，利用向量的平行四边形法则可得，再利用，即可证明．
（2）设，则，．由点是线段的中点，可得．于是，再利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
解：（1）证明：点是线段的中点，∴.
∵，
∴.
（2）设，则.
∵点是线段的中点，
∴.
∴，当时，取得最小值.
5. 已知，，当取最小值时.
(1) 求的值；
(2) 若、共线且同向，求证：.
【答案】(1) (为与的夹角)时，取最小值；(2) 证明见解析.
【分析】
(1)利用将向量模长最小值问题转化为关于的二次函数的最小值问题；
(2)根据题中条件确定的值，将向量垂直的证明转化为证明两向量的数量积为0.
【详解】
(1) 不妨设、的夹角为，，
因为，，所以，.
令，，，
则可看作关于二次函数，且图象开口向上，
当时，有最小值，即有最小值.
(2) 若、共线且同向，由(1)知，
则有，
因为，
所以.
6. 作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；
（2）求的大小.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据三力平衡，可知，平方后代入数值进行计算即可；（2）因为三力平衡可得，然后根据平方去计算夹角大小.
【详解】
（1）由题意，且与的夹角为，.
（2），即.，.
【点睛】
本题考查向量中力的合成分解以及向量中的模长转化为数量积的计算，难度较易.对于给出向量模长之间的关系求解夹角时，可采用将模长的等式平方的方法去求解夹角.
7. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴 ，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.
（1）计算的大小；
（2）设向量，若与共线，求实数的值；
（3）是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）先计算出的值，再根据公式，求出；
（2），由已知与共线，根据向量共线的条件，可以得到等式，再根据平面向量基本定理，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，可求出实数的值；
（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：，根据平面向量数量积的运算公式，可以得到一个关于的方程，如果能解出方程，就说明存在，如果方程没有实数根，就说明不存在.
【详解】
（1） ，
所以
；
（2）若与共线，则存在实数使得
即，由平面向量基本定理得：
，解得
所以实数的值
（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：
即
，得
所以，存在实数， 使得与向量垂直.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算公式，以及求平面向量的模，正确运用平面向量的运算公式是解题的关键.
8. 已知与的夹角为120°．
（1）求与的值；
（2）x为何值时，与垂直？
【答案】（1）；（2）当时，与垂直．
【分析】
（1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，，将条件及的值代入，可得答案.
（2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值.
【详解】
（1）．
．
．
（2）因为，
所以，即．
所以当时，与垂直．
【点睛】
本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.
9. 已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）
【分析】
（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【详解】
（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，夹角公式，模的运算，考查了计算能力，属于中档题.
10. 已知向量满足，
（1）若，求实数的值；
（2）求向量与夹角的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得到，展开整理得到，利用结合，确定方向关系，即可求解；
（2）设的夹角为，根据（1）求出，利用配方法求出的最小值，即可求出结论.
【详解】
（1）因为，，所以，则与同向.
因为，所以，
即，整理得，解得，
所以当时，.
（2）设的夹角为，
则，
当，即时，取最小值，
又，所以，
即向量与夹角的最大值为.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本运算、向量的模计算、向量的夹角等基础知识，属于中档题.
课程标准
课标解读
理解平面向量的数量积、模、夹角、投影的意义，会利用向量的数量积进行求向量的相关量的运算，正确理解向量的夹角、向量的共线与向量数量积的关系.能利用向量运算的相关定律进行平面向量的运算.
通过本节课的学习，要求会利用平面向量的数量积公式及相关的运算律进行向量的相关量的求解与运算.掌握两向量的垂直、共线时平面向量数量积的特点，理解与掌握投影的意义，并能准确判断向量的数量积与两向量的夹角的大小关系.
目标导航
知识精讲
知识点
1．平面向量数量积的物理背景
物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个矢量也可以进行运算．
2．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(inner prduct)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 (prjectin)．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投
影的乘积．
3．平面向量数量积的性质与运算律
（1）平面向量数量积的性质
由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有：
；
或；
当与同向时，；当与反向时，；
④，其中是非零向量与的夹角；
⑤，当且仅当向量共线，即时等号成立．
（2）平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：
已知向量和实数，则
交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：．
（3）两个结论
①；
②．
【微点拨】1.两向量的夹角要共起点且夹角的范围为；2.当两非零向量垂直时，向量的投影是点.
【即学即练1】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cs
则实数t的值为（ ）
A.4 B.–4 C. D.–
【答案】B
【解析】由，可设，又，所以
.
所以，故选B.
【即学即练2】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】设，，∴，，
，∴，故选B.
【即学即练3】已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ）
A．–1B．1
C．D．
【答案】B
【解析】设向量与a的夹角为θ，则：csθ=，∴在向量a上的投影为：．故选B．
【即学即练4】已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A．150°B．90°
C．60°D．30°
【答案】C
【解析】由题意可得=2×1cs60°=1，设向量与的夹角等于θ，∵（）2=–2+=4–2×1+1=3，（）2=+4+4=4+4×1+4=12，∴||=，||==2，而（）（）=+–2=4+1–2=3，由此可得csθ=．再由0°≤θ≤180°，可得θ=60°，故选C．
【即学即练5】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
【答案】
【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，
在等腰梯形ABCD中,由∥,
得,, ,
所以=
【即学即练6】已知不共线的向量，，，.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【解析】（1）设的夹角为，∵，∴，
又，可得，∴.
（2）.
【名师点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.求解时，（1）先计算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式计算求值.
能力拓展
考法01
1．平面向量数量积的概念及运算律：
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(inner prduct)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角
【典例1】下列判断：
①，则；
②已知是三个非零向量，若，则；
③共线；
④；
⑤；
⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角；
⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长．
其中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】由于，所以若，则，故①正确；
若，则，又是三个非零向量，所以，所以，②正确；
共线，所以③错;
对于④，应有，所以④错;
对于⑤，应该是，所以⑤错；
当的夹角为0°时，也有，因此⑥错;
表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故⑦错．综上可知①②正确．
【名师点睛】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．
【典例2】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．与不垂直
C． D．
【答案】ACD
【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；
选项B，，
∴与垂直，即B错误；
选项C，∵与不共线，
∴若，则显然成立；
若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；
选项D，，即D正确.
故选：ACD
【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.
【典例3】已知，，与的夹角是，计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出的值；
（2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出的值.
【详解】
（1）；
（2）
.
【典例4】已知，且，，，求的值.
【答案】.
【分析】
依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，所以
可得：，故：.
同理可得，，
所以；
【即学即练7】下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误，，故.
⑤错误，.
综上所述，正确的个数为，故选B.
【名师点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，属于基础题.求解时，根据向量数量积的运算知识，对五个关系式逐一分析，由此判断出正确的个数.
考法02
2．求向量的数量积、投影、模、夹角
（1）向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角，记作
②范围：夹角θ的范围是[0，180°]．
当θ=0°时，两向量a，b共线且同向；
当θ=90°时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ=180°时，两向量a，b共线但反向．
③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
（2）向量的投影
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
【典例5】若，，，则______．
【答案】
【分析】
利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，
则，
故答案为：.
【典例6】已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______．
【答案】
【分析】
根据向量投影的定义即可求解.
【详解】
向量在向量上的投影的数量是，
故答案为：.
【典例7】已知，与的夹角大小为，则______．
【答案】
【分析】
根据题意，结合模长公式以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】
根据题意，得
.
故答案为：.
【典例8】在中，，，，则______．
【答案】##
【分析】
根据题意，结合数量积的计算公式，即可求解.
【详解】
根据题意，由，
得，因为，所以.
故答案为：.
【即学即练8】
（1）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1－2e2，则|a|=________．
（2）已知，则向量在方向上的投影为________．
（3）若，且，则向量与的夹角为________．
（4）已知，与的夹角为120°，则________．
【答案】（1）3；（2）；（3）120°；（4）．
【解析】（1）因为a2=(3e1−2e2)2=9−2×3×2×cs α＋4=9，所以|a|=3．
（2）因为，所以在方向上的投影为．
（3）由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．
（4）．
【名师点睛】（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角．
（2）求较复杂的数量积运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
考法03
平面向量数量积的综合应用
【典例9】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）或
（3）
【分析】
（1）根据，代入数值，即可求出结果；
（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；
（3）因为，所以，再根据即可求出结果.
（1）
解：因为，，，所以；
（2）
解：因为，所以或，
当时，；
当时，；
所以的值为或.
（3）解：因为，所以，所以.
【典例10】在中，，，当时，判断的形状．
【答案】直角三角形或钝角三角形.
【分析】
根据向量数量积的定义可得，即有或，由此可得答案.
【详解】
解：因为在中，，， ，
所以，即，又，所以，即，
所以或，
所以是直角三角形或钝角三角形.
【典例11】．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【详解】
证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
【典例12】【易错典例】已知中，，则 ．
【错解】如图，因为，
所以．
【正解】因为，，
所以．
【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量的起点不相同，所以它们的夹角并非角C．如上图所示，其夹角应该是角C的补角，即=120°．
【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点)．
【即学即练9】若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】
由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.
【详解】
中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.
故选：B
分层提分
题组A 基础过关练
1．若平面单位向量，，不共线且两两所成角相等，则=（ ）
A．B．3
C．0D．1
【答案】C
【解析】设向量，，两两所成的角为，则平面不共线向量，，的位置关系只有一种，即两两所成的角为，所以.
当时，，故选C.
【名师点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是，意在考查向量数量积求模的基本知识.求解时，首先判断向量两两所成的角为，再根据计算结果.
2. 若，，，的夹角为135°，则（ ）
A．B．C．D．12
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
3. 若，，，的夹角为135°，则（ ）
A．B．C．D．12
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
4. 设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－B．－
C．D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选A．
【名师点睛】本题考查平面向量的投影，考查平面向量数量积的运算律、定义以及利用平面向量数量积求模，解题时，要理解向量有关的定义，并熟练应用向量数量积的运算律和定义来解题，考查计算能力，属于中等题.利用平面向量数量积的运算律与定义计算出和，可得出在方向上的投影为.
5. 已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
向量数量积不满足结合率﹒
【详解】
A：，A正确；
B：设，则，
设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
6. 已知平面上三点A、B、C满足则的值等于
A．-25B．-20C．-15D．-10
【答案】A
【分析】通过勾股定理判断出,利用向量垂直的充要条件求出,利用向量的运算法则及向量的运算律求出值.
【详解】由得，所以，
所以
故答案为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.
7. 如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得；
【详解】
解：根据正六边形的几何性质，可知，，，．
，，，
．比较得最大，
故选：A.
8. 如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】
利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，所以，
所以，
故选：C.
9. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
10. 已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量数量积运算律,集合平面向量数量积定义即可求得与的夹角.
【详解】
由平面向量数量积运算律化简可得
∵
∴.
知均为单位向量,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
.
又∵,
∴.
故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算律,由平面向量数量积的定义求夹角,属于基础题.
11. 若是互相垂直的单位向量且，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】
由，可得，再求解即可.
【详解】
解：由是互相垂直的单位向量，
则且，
又，
则，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题.
12. 在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由得，充分性成立，是钝角三角形，钝角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.
【详解】
解：设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.
13. 平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】
解：如图，根据题意：，，且，，，
．
故选：．
【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
14. 已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，可得，利用数量积公式，化简整理，即可得结果.
【详解】
设向量，的夹角为，
由题得，
所以==，
又，
所以.故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用、求向量的夹角问题，考查分析理解，化简求值的能力，属基础题.
15. 已知向量，为平面内的单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量与共线，由共线定理可知，从而可将用向量，表示，平方后即可求出的最小值.
【详解】因为向量与共线，所以存在唯一的实数，使得，所以，
所以，又向量，为平面内的单位向量，所以，，又，所以，
所以，所以的最小值为.故选：D
【点睛】关键点点睛：本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将用向量，表示，再通过平方转化为二次函数最值问题.
题组B 能力提升练
1. 为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（ ）
A．以AB为底面的等腰三角形
B．以BC为底面的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
【答案】B
【详解】
试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．
因此可知
，所以可知为
故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.
考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
2. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
3. 已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于的方程有实根
设与的夹角为，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
4. 在中，，设点满足，，．若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
用表示后可用表示，从而可求的值.
【详解】
如图，设 ，则，
又 = =，，
∴= ==，
即，
故选：B．
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，一般有定义法、基底向量法、坐标法等，注意根据题设条件的特征选择合适的方法来计算，本题属于中档题.
5. （多选）在中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
根据向量点积运算公式将选项中的向量点积展开，再由向量点积的几何意义得到结果即可.
【详解】
对于A选项，，根据向量的几何意义得到
，故选项正确；
对于B选项，，由向量的几何意义得到
，故选项错误；
对于C选项，，故选项错误；
对于D选项， ，
，故选项正确；
故选：AD
6. （多选）已知向量，均为单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】
由题意和，求得，可判定A正确，D不正确；再根据向量运算法则，分别求得，，所以B、C正确；
【详解】
由题意，向量，均为单位向量，且，
则，解得，
所以，所以A正确，D不正确；
由，所以B正确；
由，所以C正确.
故选：ABC
7. (多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）
A．
B．，反向
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
需对以上四个命题逐一判断，依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.
【详解】
A. (为与的夹角)，
由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题；
B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题；
C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题.
D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有
，反过来由也推不出.故命题D是假命题.
故选：ABC
8. （多选题）设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．不与垂直
D．
【答案】BD
【分析】
由向量数量积的定义以及数乘向量的定义可判断A；由向量的运算法则以及模的性质可判断B；利用向量垂直的充要条件可判断C；由向量数量积的运算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由于，，是不共线的向量，因此与共线，与共线，与不一定相等，故选项A错误；
对于B：由于，不共线，故，，构成三角形，由三角形两边之差小于第三边可知，故选项B正确；
对于C：由于，所以与垂直，故选项C不正确；
对于D：根据向量数量积的运算可以得，
故选项D正确，
故选：BD.
9. （多选题）若向量，为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数m可取的值有（ ）
A．B．C．0D．
【答案】AC
【分析】
根据且不同向，由此列出关于的不等式求解出结果.
【详解】
因为与的夹角为锐角，所以，
所以，所以，所以，
当共线时，不妨设，所以，所以，
显然时，同向，
所以的取值范围是，
故选：AC.
10.（多选题）在△中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
由可得点为的中点，然后根据平面向量的数量积运算结合图形分别计算，从而分析判断
【详解】
解：对于A，因为所以点为的中点，
所以，所以A错误，
对于B，因为点为的中点，所以，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以
，所以D正确，
故选：BCD
11.已知平面向量、满足，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，由条件可得出，进而可推出，然后利用辅助角公式可求得的最大值.
【详解】
，则，
设与的夹角为，则，，
，，可得，
，则，
所以，，
，则，所以，当时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量模的最值，考查辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，，则的值为_______.
【答案】5
【分析】
由题意可知，为外接圆的圆心，在圆中，延长交于点，已知等式两边同乘以得：，同理得：，从而有：.
【详解】
由题意可知，为外接圆的圆心，设半径为，在圆中，过O作，
，两边乘，
，
，得，
同理两边乘，,
，得，
从而有：.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，属于中档题.
13．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
【答案】
【分析】
根据平面向量垂直的性质可得，进而可得、，再根据投影的公式代入求解即可.
【详解】
，，，
，，
向量在向量上的投影的数量为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力.
14．如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
设，可得出，计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的最小值.
【详解】
设，
则，
，，则，
所以，
.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
15. 如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.
【答案】
【分析】
将均用表示出来，进而将，表示成与相关，可以求出 ，同时可用表示，即可求出结果.
【详解】
因为，
，
因此，
故答案为：.
【点睛】
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
C 培优拔尖练
1. 在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
【答案】
（1）（或）
（2）
【分析】
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
（1）
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
（2）
在上的投影为，
在上的投影向量为．
2. 已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求k的最小值．
【答案】
【分析】
由得，再由与垂直，转化得，结合二次函数性质可求k的最小值．
【详解】
因为，所以，
又与垂直，所以，
即，又，，所以，
，当时，取到最小值.
3. 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？
【答案】.
【分析】
根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.
【详解】
因为，， 与的夹角为，
所以，
若，则，
即，所以，
所以，可得：.
4. 在中，中线.
（1）若，求证：；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值-2.
【分析】
（1）由点是线段的中点，利用向量的平行四边形法则可得，再利用，即可证明．
（2）设，则，．由点是线段的中点，可得．于是，再利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
解：（1）证明：点是线段的中点，∴.
∵，
∴.
（2）设，则.
∵点是线段的中点，
∴.
∴，当时，取得最小值.
5. 已知，，当取最小值时.
(1) 求的值；
(2) 若、共线且同向，求证：.
【答案】(1) (为与的夹角)时，取最小值；(2) 证明见解析.
【分析】
(1)利用将向量模长最小值问题转化为关于的二次函数的最小值问题；
(2)根据题中条件确定的值，将向量垂直的证明转化为证明两向量的数量积为0.
【详解】
(1) 不妨设、的夹角为，，
因为，，所以，.
令，，，
则可看作关于二次函数，且图象开口向上，
当时，有最小值，即有最小值.
(2) 若、共线且同向，由(1)知，
则有，
因为，
所以.
6. 作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；
（2）求的大小.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据三力平衡，可知，平方后代入数值进行计算即可；（2）因为三力平衡可得，然后根据平方去计算夹角大小.
【详解】
（1）由题意，且与的夹角为，.
（2），即.，.
【点睛】
本题考查向量中力的合成分解以及向量中的模长转化为数量积的计算，难度较易.对于给出向量模长之间的关系求解夹角时，可采用将模长的等式平方的方法去求解夹角.
7. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴 ，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.
（1）计算的大小；
（2）设向量，若与共线，求实数的值；
（3）是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）先计算出的值，再根据公式，求出；
（2），由已知与共线，根据向量共线的条件，可以得到等式，再根据平面向量基本定理，得到一个二元一次方程组，解这个方程组，可求出实数的值；
（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：，根据平面向量数量积的运算公式，可以得到一个关于的方程，如果能解出方程，就说明存在，如果方程没有实数根，就说明不存在.
【详解】
（1） ，
所以
；
（2）若与共线，则存在实数使得
即，由平面向量基本定理得：
，解得
所以实数的值
（3）假设存在实数，使得与向量垂直，则有：
即
，得
所以，存在实数， 使得与向量垂直.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算公式，以及求平面向量的模，正确运用平面向量的运算公式是解题的关键.
8. 已知与的夹角为120°．
（1）求与的值；
（2）x为何值时，与垂直？
【答案】（1）；（2）当时，与垂直．
【分析】
（1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，，将条件及的值代入，可得答案.
（2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值.
【详解】
（1）．
．
．
（2）因为，
所以，即．
所以当时，与垂直．
【点睛】
本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.
9. 已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）
【分析】
（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【详解】
（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，夹角公式，模的运算，考查了计算能力，属于中档题.
10. 已知向量满足，
（1）若，求实数的值；
（2）求向量与夹角的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得到，展开整理得到，利用结合，确定方向关系，即可求解；
（2）设的夹角为，根据（1）求出，利用配方法求出的最小值，即可求出结论.
【详解】
（1）因为，，所以，则与同向.
因为，所以，
即，整理得，解得，
所以当时，.
（2）设的夹角为，
则，
当，即时，取最小值，
又，所以，
即向量与夹角的最大值为.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本运算、向量的模计算、向量的夹角等基础知识，属于中档题.
课程标准
课标解读
理解平面向量的数量积、模、夹角、投影的意义，会利用向量的数量积进行求向量的相关量的运算，正确理解向量的夹角、向量的共线与向量数量积的关系.能利用向量运算的相关定律进行平面向量的运算.
通过本节课的学习，要求会利用平面向量的数量积公式及相关的运算律进行向量的相关量的求解与运算.掌握两向量的垂直、共线时平面向量数量积的特点，理解与掌握投影的意义，并能准确判断向量的数量积与两向量的夹角的大小关系.
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