人教版八年级数学下册 专题01二次根式化简的四种题型全攻略(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册 专题01二次根式化简的四种题型全攻略(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了利用数轴化简二次根式，利用字母的取值范围化简二次根式，双重二次根式的化简等内容，欢迎下载使用。

类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例．等式成立的条件是（ ）
A．B．C．或D．
【变式训练1】已知，为实数，且，则________．
【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______．
【变式训练3】若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
类型二、利用数轴化简二次根式
例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是（ ）
A．B． C．D．
【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．
【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．
类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．已知，化简：，__________．
例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____．
【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】若，则_______；
【变式训练3】化简：_______．
【变式训练4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
类型四、双重二次根式的化简
例.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简；
（2）化简；
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设，
易知
故，由
解得，即．
根据以上方法，化简
【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
2．化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的平方根是______．
5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．
6．已知、为实数，，则的值等于______．
7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简
8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简．
解：设（，为非负有理数），则．
∴
由①得，，代入②得：，解得，
∴，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出的化简结果是__________；
(2)化简；
(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
10．（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
专题01 二次根式化简的四种题型全攻略
类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例．等式成立的条件是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，可得，
解不等式组，得 ，
所以，等式成立的条件是．
故选：A．
【变式训练1】已知，为实数，且，则________．
【答案】
【详解】依题意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0
∴n=3，∴=
故答案为：．
【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______．
【答案】等腰直角三角形
【详解】解：，
，，
，且，
为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【变式训练3】若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
可得，
解得：，
故选：B．
【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
【答案】17
【详解】解：由题意得：，解得：a=3，则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
类型二、利用数轴化简二次根式
例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴原式＝
＝
＝．故选：A．
【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____
【答案】
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，
则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．
故选：A．
【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．
【答案】
【详解】由题意可知：，，，且，
∴，，
∴原式
【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．
【答案】
【详解】解：由图可知：，，，，
∴，，
∴
．
类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．已知，化简：，__________．
【答案】##
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____．
【答案】1
【详解】解：∵的三边长分别为1、k、3，
∴，
∴，，
∴


．故答案为：1．
【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，所以a和b同号，，
，故选：D．
【变式训练2】若，则_______；
【答案】2
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2．
【变式训练3】化简：_______．
【答案】0
【解析】由题意可知：3-x≥0，∴====0
故答案为：0．
【变式训练4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，，，解得，
、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，
另一条直角边的长度为：．
类型四、双重二次根式的化简
例.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简；
（2）化简；
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）；
（2）．
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设，
易知
故，由
解得，即．
根据以上方法，化简
【答案】
【详解】解：设，易知，∴
∴，∴，∴
∵ ，∴原式
【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②
【详解】解：（1）第④步出现了错误；
=
=．
（2）①
=
=
=．
②==
．
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
【答案】B
【详解】解：∵
∴，，解得，
当腰长为2，底边为4时，∵，不满足三角形三边条件，不符合题意；
当腰长为4，底边为2时，∵，，满足三角形三边条件，
此时等腰三角形的周长为．
故选：B
2．化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，
，故选：A．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，
∴，，
∴
．
故选：C．
4．若，则的平方根是______．
【答案】
【详解】解：，，，
，，
，，
，
的平方根，
故答案为：．
5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．
【答案】1
【详解】∵，
∴把代入方程有，
整理得，
∵，是整数，
∴，
解得，
∴．
故答案为：1
6．已知、为实数，，则的值等于______．
【答案】16
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简
【答案】．
【详解】解：由题意可得，，
又∵，
∴，，
∴
，
，
．
8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简．
解：设（，为非负有理数），则．
∴
由①得，，代入②得：，解得，
∴，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出的化简结果是__________；
(2)化简；
(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：
＝
＝
＝
＝．
故答案为：；
（2）设（，为非负有理数），则，
∴，
由①得，，代入②得：，
解得，，
∴，，
∴，
∴；
（3）不能，理由如下：
设（，为非负有理数），则，
∴，
由①得，，代入②得：，
即：，
，
∴关于的一元二次方程无解，
∴不能按照上面的方法化简．
9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
【答案】(1)c>d
(2)m(3)4或4
【详解】（1）解：∵c2=32，d2=28，
则c2>d2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m证明：∵m＝，n＝，
∴m2=()2=26+4， n2＝()2=26+4，
∵<，
∴m2∴m（3）解：∵，，
∴
=2
=2+2
∵≥0
∴p≥1，
分情况讨论：
①若≤0，即1≤p≤2时，
原式=2+2，
=4；
②若>0，即p>2时，
原式=2+2，
=4
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4；
故答案为：4或4．
10．（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1），；（2）
【详解】解：（1）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴