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初中沪教版 (五四制)9.4 整式同步练习题
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这是一份初中沪教版 (五四制)9.4 整式同步练习题，共43页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式中有关概念的识别】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】2
\l "_Tc11504" 【考点三 整式中有关科学记数法的计算】2
\l "_Tc11577" 【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】3
\l "_Tc23605" 【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式中有关概念的识别】
【例题1】单项式次数是（ ）
A．3次B．4次C．5次D．6次
【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么m的值为（ ）
B．3C．0D．1
【变式2】若是一个六次单项式，则 ．
【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】
【例题2】 下列说法正确的是（ ）
A．表示的平方的式子是B．表示、、的积的式子是
C．x、y两数差的平方表示为D．的意义是x与y和的平方
【变式1】下列各说法中，错误的是（ ）
A．x，y的平方和，用代数式表示为
B．x与y和的5倍，用代数式表示为
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为
【变式2】某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【变式3】 甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）
(x+y)B．(x－y)C．3(x－y)D．3(x+y)
【考点三 整式中有关科学记数法的计算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】奥密克戎病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．奥密克戎病毒的直径平均约为110纳米，合约米，用科学记数法表示米为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【变式2】被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（简称）是世界上最大的单口径球面射电望远镜．2018年4月18日，首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将用科学记数法表示为 ．
【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】
【例题4】若，则等于 ．
【变式1】若，则 ．
【变式2】已知，则 ．
【变式3】已知方程，则 ．
【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】
【例题5】如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
【变式1】如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多8个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
【变式2】观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【变式3】【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
75．观察下列单项式：．
(1)请你写出第个，第个单项式．
(2)第个单项式的系数是多少？
(3)第个单项式的次数是多少？
(4)根据上面的归纳，请写出第个单项式
【过关检测】
选择题
1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）．
A．B．C．D．
2．苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（ ）
A．元B．元C．元D．元
3．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）．
A．B．C．D．
4．下列各式：2m，0，-2n，，中，代数式有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．规定．则（ ）
A．B．3C．D．1
6．如图，梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
二. 填空题
7.若是一个六次单项式，则 ．
8．计算： ．
9．单项式的次数为 .
10．若的计算结果中项的系数为3，则 ．
11.若，则 ．
12.一件衣服按原价的八折销售，现价为元，则原价为 元．（用含的代数式表示）
13．已知两个数与，在数轴上表示这两个数的点在原点两侧且这两点之间的距离是9，若数的绝对值是数的绝对值的2倍，则的值是 ．
14．单项式的系数是 ；若是三次二项式，则等于 ．
15．多项式是九次二项式，则m的值为 ．
16．若关于x、y的多项式的次数是3，则式子的值为 ．
17．单项式的系数是 ，次数是 次；多项式是 次多项式．
18．若关于x的多项式不含x和项，则 ．
19．南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
三．综合题
20．观察下面三行数：
、、、、… ①
、、、、…②
、、、、…③
（1）第①行数的第个数是 ；
（2）设第①行数中有一个数为，第②行数中对应位置的数为 ；
第③行数中对应位置的数为 ；
根据（2）中的结论，若这三个数的和是，则这个数存在吗？若存在，它是第①行的第几个数？
21．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
22．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则代数式的值为多少？
已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，的值．
26．已知关于的多项式，其中，，，为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为，求的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是，求的值．
27.如果互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，求代数式的值．
28．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义为，例如．
(1)按此规定，计算的值；
(2)按此规定，当时，计算的值．
29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，求：的值．
专题01 整式中5种常见压轴题型全攻略
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式中有关概念的识别】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】2
\l "_Tc11504" 【考点三 整式中有关科学记数法的计算】2
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\l "_Tc23605" 【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式中有关概念的识别】
【例题1】单项式次数是（ ）
A．3次B．4次C．5次D．6次
【答案】D
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此结合单项式进行判断即可．
【详解】解：单项式的次数为：，
故选D．
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握理解单项式的次数是解题关键．
【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么m的值为（ ）
B．3C．0D．1
【答案】A
【分析】先计算，根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可．
【详解】解：，
∵与的乘积中不含的一次项，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．
【变式2】若是一个六次单项式，则 ．
【答案】1
【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可进行解答．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项．
【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】
【例题2】 下列说法正确的是（ ）
A．表示的平方的式子是B．表示、、的积的式子是
C．x、y两数差的平方表示为D．的意义是x与y和的平方
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方和乘法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．表示的平方的式子是，故A错误；
B．表示、、的积的式子是，故B错误；
C．x、y两数差的平方表示为，故C正确；
D．的意义是x与y平方的和，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，比较简单，主要是对一些书写习惯的考查．
【变式1】下列各说法中，错误的是（ ）
A．x，y的平方和，用代数式表示为
B．x与y和的5倍，用代数式表示为
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式2】某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式3】 甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）
(x+y)B．(x－y)C．3(x－y)D．3(x+y)
【答案】C
【详解】试题解析：甲乙两人的年龄和为 ，年龄差为 ，由题意， ，所以本题应选C.
【考点三 整式中有关科学记数法的计算】
【例题3】计算的结果是（ ）
B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质进行计算．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
【变式1】奥密克戎病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．奥密克戎病毒的直径平均约为110纳米，合约米，用科学记数法表示米为（ ）
米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得
米从左边起第一个不为零的数字前面有个，
米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键．
【变式2】被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（简称）是世界上最大的单口径球面射电望远镜．2018年4月18日，首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ；
故答案为．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】
【例题4】若，则等于 ．
【答案】
【分析】根据平方的非负性及绝对值的非负性可知，进而即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性，一元一次方程，掌握平方的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．
【变式1】若，则 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，求出x和y的值是解答本题的关键．
【变式2】已知，则 ．
【答案】1
【分析】由绝对值的非负性，求出a、b的值，然后代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性和代数式求值，有理数的乘方，解题的关键是掌握非负数的性质进行解题．
【变式3】已知方程，则 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出关于x，y的二元一次方程组，解之，然后将x、y的值代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、求代数式的值，解题的关键是利用非负数的性质得出二元一次方程组．
【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】
【例题5】如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
【答案】2023
【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，，
所以这个小直角三角形都有一条边与平行，
这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键．
【变式1】如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多8个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
【答案】30
【分析】设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多个”可得出关于，的二元一次方程组，解之即得答案．
【详解】解：设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
【变式2】观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【变式3】【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)；
(2)；系数为：，次数为：
【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
单项式的系数依次为：
的指数依次为：
故第7个单项式是：
第8个单项式是：
（2）解：由（1）可得出第个单项式为：
故第个单项式是：，它的系数为：，次数为：
【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
75．观察下列单项式：．
(1)请你写出第个，第个单项式．
(2)第个单项式的系数是多少？
(3)第个单项式的次数是多少？
(4)根据上面的归纳，请写出第个单项式
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答；
结合可解答；
结合可解答；
结合可解答．
【详解】（1），
，
，
第个单项式为：，
第个单项式为：；
（2）由可得：第个单项式的系数是：；
（3）由可得：第个单项式的次数是：；
（4）由可得：第个单项式为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
【过关检测】
选择题
1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求；
应表示为：，故选项B不符合要求；
应表示为：，故选项C不符合要求；
的书写规范，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解．
2．苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】A
【分析】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，再根据质量×单价=支付费用即可求解．
【详解】解：苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，
∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为（元）．
故选A．
【点睛】本题主要考查了列代数，解题的关键在于能够准确求出现价．
3．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答．
【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是，
∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：．
故选：
【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键．
4．下列各式：2m，0，-2n，，中，代数式有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】根据代数式的定义解答即可．
【详解】解：2m，0，-2n，，是代数式；
是等式．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的识别，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．
5．规定．则（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】A
【分析】根据定义，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义运算，熟练掌握定义的意义是解题的关键．
6．如图，梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，进而即可解答．
【详解】解：∵梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了梯形的面积，圆的面积，掌握不规则图形的面积是解题的关键．
二. 填空题
7．若是一个六次单项式，则 ．
【答案】
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得，再解即可．
【详解】由题意，得，解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数，关键是掌握单项式的相关定义．
8．计算： ．
【答案】/
【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
9．单项式的次数为 .
【答案】
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式次数的定义解答即可．
【详解】解：单项式的次数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式系数、次数的定义，解题关键是熟练掌握单项式次数的定义．
10．若的计算结果中项的系数为3，则 ．
【答案】
【分析】先利用多项式乘多项式法则算乘法，再根据计算结果与项的系数为3确定m的值．
【详解】解：
．
∵的计算结果中项的系数为3，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
11.若，则 ．
12.一件衣服按原价的八折销售，现价为元，则原价为 元．（用含的代数式表示）
【答案】/
【分析】根据售价原价列式，即可得到答案．
【详解】解：设原价为元，
由题意得：，
解得：，
即原价为元，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，根据题意正确列式是解题关键．
已知两个数与，在数轴上表示这两个数的点在原点两侧且这两点之间的距离是9，若数的绝对值是数的绝对值的2倍，则的值是 ．
【答案】3或/或3
【分析】由题意知，与异号，，且，可推知，化简，求得，进而求得答案．
【详解】解：由题意知，与异号，，且；
由得或，
∵与异号，
∴．
∴，解得．
∴，或．
∴或3．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查绝对值的化简，数轴上点表示数，数轴上两点间的距离计算；掌握绝对值的性质是解题的关键．
单项式的系数是 ；若是三次二项式，则等于 ．
【答案】
【分析】直接根据单项式的系数与次数的定义以及多项式的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【详解】单项式的系数是；.
若是三次二项式，
∴且
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的相关定义，熟练掌握单项式的系数以及多项式的定义是解题的关键．
多项式是九次二项式，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据九次二项式的定义可得，且，计算即可．
【详解】解：由题可知：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．
若关于x、y的多项式的次数是3，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知求出m的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数概念，本题属于基础题型．
单项式的系数是 ，次数是 次；多项式是 次多项式．
【答案】 4 四
【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法，再结合多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：单项式的系数是：，次数是4次；
多项式是四次多项式．
故答案为：，4，四．
【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式的次数与系数的定义，正确把握其次数确定方法是解题关键．
若关于x的多项式不含x和项，则 ．
【答案】
【分析】，由关于x的多项式不含x和项，可得，，计算求解的值，然后代入求解即可．
【详解】解：
∵关于x的多项式不含x和项，
∴，，
解得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的项，代数式求值．解题的关键在于对多项式项的理解．
19．南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
【答案】
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
三．综合题
20．观察下面三行数：
、、、、… ①
、、、、…②
、、、、…③
（1）第①行数的第个数是 ；
（2）设第①行数中有一个数为，第②行数中对应位置的数为 ；
第③行数中对应位置的数为 ；
（3）根据（2）中的结论，若这三个数的和是，则这个数存在吗？若存在，它是第①行的第几个数？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）观察式子：奇次项时为负数，偶次项为正数，根据此规律即可得答案；
（2）观察式子：第②行数中是第①行数对应位置的数加，第③行数中是第①行数对应位置的数除以，根据此规律即可得答案；
（3）根据以上规律，列出方程，求解即可．
【详解】（1），
，
，
，
，
依此规律第个数是：，
（2），
，
，
，
，
依此规律：第②行数中对应位置的数为；
，
，
，
，
，
依此规律：第③行数中对应位置的数为；
故答案为：，；
（3）依题意得：，
解得：，
依照①规律：，
∴，
∴是第①行的第个数．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解．
21．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
【答案】(1)①②⑦；、、
(2)④⑥；、
【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答；
（2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答．
【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式，
∴，，是单项式，
即①②⑦是单项式，
∴的系数为，的系数为，的系数是，
故答案为①②⑦；、、；
（2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式，
∴，，
即④⑥，
∴的次数为，的次数为，
故答案为④⑥；、．
【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键．
22．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用整式乘法的混合运算化解，然后代入求解即可；
（2）利用整式乘法的混合运算化解，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵
∴，
解得，，
；
（2）
．
【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性，整式乘法的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
【答案】或11
【分析】先根据a，b互为相反数，得出，根据c，d互为倒数，得出，根据，得出，然后代入求出结果即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴，
∵c，d互为倒数，
∴，
∵，
∴，
①当时 原式
②当时 原式．
综上，的值为或11．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的定义，准确进行计算．
24．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则代数式的值为多少？
【答案】或
【分析】根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，得到，代入代数式进行求解即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互相相反数的两数的绝对值相等．
25．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，的值．
【答案】
【分析】由a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，可得，，，再整体代入计算求值．
【详解】解：由a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，
可得，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，代数式的求值，注意互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1．
26．已知关于的多项式，其中，，，为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为，求的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由是互不相等的整数，可得这四个数由，，，组成，再进行计算即可得到答案；
（2）把代入，即可求出的值；
（3）把代入，再根据，即可求出的值．
【详解】（1）解：，且是互不相等的整数，
为，，，，
；
（2）解：当时，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出这四个数以及之间的关系．
27．如果互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，求代数式的值．
【答案】9
【分析】根据倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义，数轴上点的特点，进行解答即可．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，
∴，，，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义，数轴上点的特点．
28．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义为，例如．
(1)按此规定，计算的值；
(2)按此规定，当时，计算的值．
【答案】(1)23
(2)0
【分析】（1）根据，可以计算出所求式子的值；
（2）根据，可以得到，，从而可以得到，然后将所求式子化简，再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，求：的值．
【答案】1
【分析】由题意可得：，代入进行计算即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，
∴，
∵c、d互为倒数，
∴，
∵m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，互为相反数、互为倒数、绝对值、最大负整数等知识的理解与运用，关键是根据已知条件求出、、m、n的值．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式中有关概念的识别】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】2
\l "_Tc11504" 【考点三 整式中有关科学记数法的计算】2
\l "_Tc11577" 【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】3
\l "_Tc23605" 【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式中有关概念的识别】
【例题1】单项式次数是（ ）
A．3次B．4次C．5次D．6次
【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么m的值为（ ）
B．3C．0D．1
【变式2】若是一个六次单项式，则 ．
【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】
【例题2】 下列说法正确的是（ ）
A．表示的平方的式子是B．表示、、的积的式子是
C．x、y两数差的平方表示为D．的意义是x与y和的平方
【变式1】下列各说法中，错误的是（ ）
A．x，y的平方和，用代数式表示为
B．x与y和的5倍，用代数式表示为
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为
【变式2】某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【变式3】 甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）
(x+y)B．(x－y)C．3(x－y)D．3(x+y)
【考点三 整式中有关科学记数法的计算】
【例题3】计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】奥密克戎病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．奥密克戎病毒的直径平均约为110纳米，合约米，用科学记数法表示米为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【变式2】被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（简称）是世界上最大的单口径球面射电望远镜．2018年4月18日，首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将用科学记数法表示为 ．
【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】
【例题4】若，则等于 ．
【变式1】若，则 ．
【变式2】已知，则 ．
【变式3】已知方程，则 ．
【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】
【例题5】如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
【变式1】如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多8个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
【变式2】观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【变式3】【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
75．观察下列单项式：．
(1)请你写出第个，第个单项式．
(2)第个单项式的系数是多少？
(3)第个单项式的次数是多少？
(4)根据上面的归纳，请写出第个单项式
【过关检测】
选择题
1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）．
A．B．C．D．
2．苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（ ）
A．元B．元C．元D．元
3．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）．
A．B．C．D．
4．下列各式：2m，0，-2n，，中，代数式有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．规定．则（ ）
A．B．3C．D．1
6．如图，梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
二. 填空题
7.若是一个六次单项式，则 ．
8．计算： ．
9．单项式的次数为 .
10．若的计算结果中项的系数为3，则 ．
11.若，则 ．
12.一件衣服按原价的八折销售，现价为元，则原价为 元．（用含的代数式表示）
13．已知两个数与，在数轴上表示这两个数的点在原点两侧且这两点之间的距离是9，若数的绝对值是数的绝对值的2倍，则的值是 ．
14．单项式的系数是 ；若是三次二项式，则等于 ．
15．多项式是九次二项式，则m的值为 ．
16．若关于x、y的多项式的次数是3，则式子的值为 ．
17．单项式的系数是 ，次数是 次；多项式是 次多项式．
18．若关于x的多项式不含x和项，则 ．
19．南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
三．综合题
20．观察下面三行数：
、、、、… ①
、、、、…②
、、、、…③
（1）第①行数的第个数是 ；
（2）设第①行数中有一个数为，第②行数中对应位置的数为 ；
第③行数中对应位置的数为 ；
根据（2）中的结论，若这三个数的和是，则这个数存在吗？若存在，它是第①行的第几个数？
21．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
22．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则代数式的值为多少？
已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，的值．
26．已知关于的多项式，其中，，，为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为，求的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是，求的值．
27.如果互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，求代数式的值．
28．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义为，例如．
(1)按此规定，计算的值；
(2)按此规定，当时，计算的值．
29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，求：的值．
专题01 整式中5种常见压轴题型全攻略
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5998 \h 1
\l "_Tc11367" 【考点一 整式中有关概念的识别】 PAGEREF _Tc11367 \h 1
\l "_Tc15074" 【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】2
\l "_Tc11504" 【考点三 整式中有关科学记数法的计算】2
\l "_Tc11577" 【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】3
\l "_Tc23605" 【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】3
\l "_Tc21571" 【过关检测】4
【典型例题】
【考点一 整式中有关概念的识别】
【例题1】单项式次数是（ ）
A．3次B．4次C．5次D．6次
【答案】D
【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此结合单项式进行判断即可．
【详解】解：单项式的次数为：，
故选D．
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握理解单项式的次数是解题关键．
【变式1】如果与的乘积中不含的一次项，那么m的值为（ ）
B．3C．0D．1
【答案】A
【分析】先计算，根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可．
【详解】解：，
∵与的乘积中不含的一次项，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．
【变式2】若是一个六次单项式，则 ．
【答案】1
【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可进行解答．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项．
【考点二 整式中代数式表示的实际意义的辨析】
【例题2】 下列说法正确的是（ ）
A．表示的平方的式子是B．表示、、的积的式子是
C．x、y两数差的平方表示为D．的意义是x与y和的平方
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方和乘法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．表示的平方的式子是，故A错误；
B．表示、、的积的式子是，故B错误；
C．x、y两数差的平方表示为，故C正确；
D．的意义是x与y平方的和，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，比较简单，主要是对一些书写习惯的考查．
【变式1】下列各说法中，错误的是（ ）
A．x，y的平方和，用代数式表示为
B．x与y和的5倍，用代数式表示为
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式2】某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式3】 甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）
(x+y)B．(x－y)C．3(x－y)D．3(x+y)
【答案】C
【详解】试题解析：甲乙两人的年龄和为 ，年龄差为 ，由题意， ，所以本题应选C.
【考点三 整式中有关科学记数法的计算】
【例题3】计算的结果是（ ）
B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质进行计算．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
【变式1】奥密克戎病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．奥密克戎病毒的直径平均约为110纳米，合约米，用科学记数法表示米为（ ）
米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得
米从左边起第一个不为零的数字前面有个，
米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的定义，理解定义是解题的关键．
【变式2】被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（简称）是世界上最大的单口径球面射电望远镜．2018年4月18日，首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解： ；
故答案为．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【考点四 整式计算中有关绝对值非负性的应用】
【例题4】若，则等于 ．
【答案】
【分析】根据平方的非负性及绝对值的非负性可知，进而即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性，一元一次方程，掌握平方的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．
【变式1】若，则 ．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，求出x和y的值是解答本题的关键．
【变式2】已知，则 ．
【答案】1
【分析】由绝对值的非负性，求出a、b的值，然后代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性和代数式求值，有理数的乘方，解题的关键是掌握非负数的性质进行解题．
【变式3】已知方程，则 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出关于x，y的二元一次方程组，解之，然后将x、y的值代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、求代数式的值，解题的关键是利用非负数的性质得出二元一次方程组．
【考点五 整式中符合数字规律的题型拓展提高】
【例题5】如图，直角的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
【答案】2023
【分析】根据题意得这个小直角三角形都有一条边与平行，则有小直角三角形中与平行的边的和等于，与平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这个小直角三角形都有一条边与平行，，
所以这个小直角三角形都有一条边与平行，
这5个小直角三角形周长的和等于直角的周长，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角的周长是解题的关键．
【变式1】如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多8个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
【答案】30
【分析】设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多个”可得出关于，的二元一次方程组，解之即得答案．
【详解】解：设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
【变式2】观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【变式3】【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)；
(2)；系数为：，次数为：
【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
单项式的系数依次为：
的指数依次为：
故第7个单项式是：
第8个单项式是：
（2）解：由（1）可得出第个单项式为：
故第个单项式是：，它的系数为：，次数为：
【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
75．观察下列单项式：．
(1)请你写出第个，第个单项式．
(2)第个单项式的系数是多少？
(3)第个单项式的次数是多少？
(4)根据上面的归纳，请写出第个单项式
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答；
结合可解答；
结合可解答；
结合可解答．
【详解】（1），
，
，
第个单项式为：，
第个单项式为：；
（2）由可得：第个单项式的系数是：；
（3）由可得：第个单项式的次数是：；
（4）由可得：第个单项式为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
【过关检测】
选择题
1．下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求；
应表示为：，故选项B不符合要求；
应表示为：，故选项C不符合要求；
的书写规范，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解．
2．苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】A
【分析】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，再根据质量×单价=支付费用即可求解．
【详解】解：苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，
∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为（元）．
故选A．
【点睛】本题主要考查了列代数，解题的关键在于能够准确求出现价．
3．一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答．
【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是，
∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：．
故选：
【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键．
4．下列各式：2m，0，-2n，，中，代数式有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】根据代数式的定义解答即可．
【详解】解：2m，0，-2n，，是代数式；
是等式．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的识别，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．
5．规定．则（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】A
【分析】根据定义，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义运算，熟练掌握定义的意义是解题的关键．
6．如图，梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，进而即可解答．
【详解】解：∵梯形上、下底分别为、，高线长恰好等于圆的直径，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了梯形的面积，圆的面积，掌握不规则图形的面积是解题的关键．
二. 填空题
7．若是一个六次单项式，则 ．
【答案】
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得，再解即可．
【详解】由题意，得，解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数，关键是掌握单项式的相关定义．
8．计算： ．
【答案】/
【分析】根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
9．单项式的次数为 .
【答案】
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式次数的定义解答即可．
【详解】解：单项式的次数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式系数、次数的定义，解题关键是熟练掌握单项式次数的定义．
10．若的计算结果中项的系数为3，则 ．
【答案】
【分析】先利用多项式乘多项式法则算乘法，再根据计算结果与项的系数为3确定m的值．
【详解】解：
．
∵的计算结果中项的系数为3，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
11.若，则 ．
12.一件衣服按原价的八折销售，现价为元，则原价为 元．（用含的代数式表示）
【答案】/
【分析】根据售价原价列式，即可得到答案．
【详解】解：设原价为元，
由题意得：，
解得：，
即原价为元，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，根据题意正确列式是解题关键．
已知两个数与，在数轴上表示这两个数的点在原点两侧且这两点之间的距离是9，若数的绝对值是数的绝对值的2倍，则的值是 ．
【答案】3或/或3
【分析】由题意知，与异号，，且，可推知，化简，求得，进而求得答案．
【详解】解：由题意知，与异号，，且；
由得或，
∵与异号，
∴．
∴，解得．
∴，或．
∴或3．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查绝对值的化简，数轴上点表示数，数轴上两点间的距离计算；掌握绝对值的性质是解题的关键．
单项式的系数是 ；若是三次二项式，则等于 ．
【答案】
【分析】直接根据单项式的系数与次数的定义以及多项式的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【详解】单项式的系数是；.
若是三次二项式，
∴且
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的相关定义，熟练掌握单项式的系数以及多项式的定义是解题的关键．
多项式是九次二项式，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据九次二项式的定义可得，且，计算即可．
【详解】解：由题可知：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．
若关于x、y的多项式的次数是3，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知求出m的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
当时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数概念，本题属于基础题型．
单项式的系数是 ，次数是 次；多项式是 次多项式．
【答案】 4 四
【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法，再结合多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：单项式的系数是：，次数是4次；
多项式是四次多项式．
故答案为：，4，四．
【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式的次数与系数的定义，正确把握其次数确定方法是解题关键．
若关于x的多项式不含x和项，则 ．
【答案】
【分析】，由关于x的多项式不含x和项，可得，，计算求解的值，然后代入求解即可．
【详解】解：
∵关于x的多项式不含x和项，
∴，，
解得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的项，代数式求值．解题的关键在于对多项式项的理解．
19．南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
【答案】
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
三．综合题
20．观察下面三行数：
、、、、… ①
、、、、…②
、、、、…③
（1）第①行数的第个数是 ；
（2）设第①行数中有一个数为，第②行数中对应位置的数为 ；
第③行数中对应位置的数为 ；
（3）根据（2）中的结论，若这三个数的和是，则这个数存在吗？若存在，它是第①行的第几个数？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）观察式子：奇次项时为负数，偶次项为正数，根据此规律即可得答案；
（2）观察式子：第②行数中是第①行数对应位置的数加，第③行数中是第①行数对应位置的数除以，根据此规律即可得答案；
（3）根据以上规律，列出方程，求解即可．
【详解】（1），
，
，
，
，
依此规律第个数是：，
（2），
，
，
，
，
依此规律：第②行数中对应位置的数为；
，
，
，
，
，
依此规律：第③行数中对应位置的数为；
故答案为：，；
（3）依题意得：，
解得：，
依照①规律：，
∴，
∴是第①行的第个数．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解．
21．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
【答案】(1)①②⑦；、、
(2)④⑥；、
【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答；
（2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答．
【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式，
∴，，是单项式，
即①②⑦是单项式，
∴的系数为，的系数为，的系数是，
故答案为①②⑦；、、；
（2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式，
∴，，
即④⑥，
∴的次数为，的次数为，
故答案为④⑥；、．
【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键．
22．先化简，再求值：已知满足．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用整式乘法的混合运算化解，然后代入求解即可；
（2）利用整式乘法的混合运算化解，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵
∴，
解得，，
；
（2）
．
【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性，整式乘法的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
【答案】或11
【分析】先根据a，b互为相反数，得出，根据c，d互为倒数，得出，根据，得出，然后代入求出结果即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴，
∵c，d互为倒数，
∴，
∵，
∴，
①当时 原式
②当时 原式．
综上，的值为或11．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的定义，准确进行计算．
24．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则代数式的值为多少？
【答案】或
【分析】根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，得到，代入代数式进行求解即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互相相反数的两数的绝对值相等．
25．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，的值．
【答案】
【分析】由a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，可得，，，再整体代入计算求值．
【详解】解：由a和b互为相反数，c和d互为倒数，h是的绝对值，
可得，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，代数式的求值，注意互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1．
26．已知关于的多项式，其中，，，为互不相等的整数．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，当时，这个多项式的值为，求的值；
(3)在（1）、（2）条件下，若时，这个多项式的值是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由是互不相等的整数，可得这四个数由，，，组成，再进行计算即可得到答案；
（2）把代入，即可求出的值；
（3）把代入，再根据，即可求出的值．
【详解】（1）解：，且是互不相等的整数，
为，，，，
；
（2）解：当时，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出这四个数以及之间的关系．
27．如果互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，求代数式的值．
【答案】9
【分析】根据倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义，数轴上点的特点，进行解答即可．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是是数轴负半轴上到原点的距离为的数，
∴，，，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义，数轴上点的特点．
28．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义为，例如．
(1)按此规定，计算的值；
(2)按此规定，当时，计算的值．
【答案】(1)23
(2)0
【分析】（1）根据，可以计算出所求式子的值；
（2）根据，可以得到，，从而可以得到，然后将所求式子化简，再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，求：的值．
【答案】1
【分析】由题意可得：，代入进行计算即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，
∴，
∵c、d互为倒数，
∴，
∵m是绝对值为3的正数，n是最大的负整数，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，互为相反数、互为倒数、绝对值、最大负整数等知识的理解与运用，关键是根据已知条件求出、、m、n的值．
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