专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略-初中数学8年级下册同步压轴题（教师版含解析）
展开专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略
类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例1．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___．
【答案】
【详解】解： 等式成立，
由①得： 由②得：
所以则的取值范围为 故答案为：
【变式训练1】已知，为实数，且，则________．
【答案】
【详解】依题意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0
∴n=3，∴=
故答案为：．
【变式训练2】(1)中a的取值范围是__________；
(2)若，则a的取值范围是_______；
【答案】a≥0
【解析】(1)中a的取值范围是a≥0，
(2)∵，∴，∴，
故答案为：a≥0，．
【变式训练3】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
【答案】17
【详解】解：由题意得：，解得：a=3，
则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
【变式训练4】如果成立，那么实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，∴，∴，
故选：B．
类型二、利用数轴化简二次根式
例1．实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可知：，，
∴
故选：B．
【变式训练1】实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣的结果是( )
A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a
【答案】A
【详解】解：由数轴可知：，∴，
∴原式＝，故选：A．
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，
则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．
故选：A．
【变式训练3】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：
【答案】0
【详解】由数轴知：
∴，
∴＝－b－(a－b)－(c－a)－(－c)＝－b－a＋b＋a－c＋c＝0
类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．若，那么化简的结果是________．
【答案】4
【解析】=|7-m|+|m-3|
∵3＜m＜7，∴原式=7-m+m-3=4．
故答案为：4．
例2.设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是________．
【答案】2a+2c
【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0，
∴+|b﹣a﹣c|=|a+b+c|+|b﹣a﹣c|=a+b+c+a+c-b=2a+2c．
故答案是：2a+2c．
【变式训练1】已知，那么可化简为_______________
【答案】
【解析】 ，, ，
原式＝．
故答案为：
【变式训练2】若实数a，b，c满足关系式，则c＝______．
【答案】404
【详解】解：根据题意，得，解得a＝199，
则，
所以，解得，
故答案为：404．
【变式训练3】化简：_______．
【答案】0
【解析】由题意可知：3-x≥0，∴==
==0
故答案为：0．
类型四、双重二次根式的化简
例1．化简＝_______
【答案】
【详解】解：====
故答案为：．
例2.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简；
(2)化简；
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)；
(2)．
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设，
易知
故，由
解得，即．
根据以上方法，化简
【答案】
【详解】解：设，易知，∴
∴，∴，∴
∵ ，∴原式
【变式训练2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，，由于，
即，
∴
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：．
【答案】(1)，；(2)
【详解】解：(1)==；
==；故答案为：，；
(2)原式====
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
(1)填空：__________，____________﹔
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b()，使，，即，﹐那么便有： __________．
(3)化简：(请写出化简过程)
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】解：(1)；
；
(2)；
(3)==．
课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为( )
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B
【详解】解：∵
∴，，解得，
当腰长为2，底边为4时，∵，不满足三角形三边条件，不符合题意；
当腰长为4，底边为2时，∵，，满足三角形三边条件，
此时等腰三角形的周长为．
故选：B
2．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：两侧同时平方，得到
∴∴，，∴xyz＝，故选择：A．
3．已知，则yx＝_____．
【答案】16
【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，解得，x=2，则y=-4，
∴yx=(-4)2=16，故答案为：16．
4．如图，实数，在数轴上的位置，化简__．
【答案】
【详解】解：由数轴可得：，，则，
∴．
故答案为：．
5．已知a，b为有理数，且+＝b+2，求ab的值．
【答案】
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a＝．
(1)则b＝ ，c＝ ，bc＋6＝ ；
(2)化简：．
【答案】(1)，，；(2)
【详解】解：(1)∵A表示一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B∴，
∵点C与点B关于原点对称，
∴，
∴bc＋6＝．
故答案为：；；；
(2)
．
7．计算：
(1)×；
(2)已知 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)原式
(2)结合数轴可知：，
，，
原式
8．观察下列等式：
解答下列问题：
(1)写出一个无理数，使它与的积为有理数；
(2)利用你观察的规律，化简；
(3)计算：．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】解：(1)∵，∴这个无理数为：；
(2)==；
(3)
=
=．
9．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使、，这样，那么便有
例如：化简．
解：首先把化为，
这里，．由于，，
即，，
．
由上述；例题的方法化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】(1)；
(2)＝．
