2023年初中数学8年级下册同步压轴题 专题01 二次根式化简的四种题型全攻略（学生版+解析版）

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类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例．等式成立的条件是( )
A．B．C．或D．
【变式训练1】已知，为实数，且，则________．
【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______．
【变式训练3】若，则x的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
类型二、利用数轴化简二次根式
例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是( )
A．B． C．D．
【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是( )
A．B．C．D．
【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简．
【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．
类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．已知，化简：，__________．
例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____．
【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为( )
A．B．C．D．
【变式训练2】若，则_______；
【变式训练3】化简：_______．
【变式训练4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
类型四、双重二次根式的化简
例.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简；
(2)化简；
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设，
易知
故，由
解得，即．
根据以上方法，化简
【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
(1)填空：__________，____________﹔
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b()，使，，即，﹐那么便有： __________．
(3)化简：(请写出化简过程)
【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设(其中a、b、m、n均为正整数)，则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为( )
A．8B．10C．8或10D．9
2．化简二次根式的正确结果是( )
A．B．C．D．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是( )
A．B．C．D．
4．若，则的平方根是______．
5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________．
6．已知、为实数，，则的值等于______．
7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简
8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简．
解：设(，为非负有理数)，则．
∴
由①得，，代入②得：，解得，
∴，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出的化简结果是__________；
(2)化简；
(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d(填写＞，＜或者＝)．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ (直接写出答案)．
10．(1)已知、为实数，且，求、的值．
(2)已知实数满足，求的值．