高中数学第四章 数列4.4* 数学归纳法教案

这是一份高中数学第四章 数列4.4* 数学归纳法教案，共5页。

问题1：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
答案：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项. 令n=1，就有，把代入，可得. 同理，令n=2，就有，把代入，可得. 看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是.
追问1：仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？
答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于这个数，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可以拆成两个数的乘积．通过以上反例，可看出从某种意义上说，仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想未必是正确的．
追问2：该如何证明这个猜想呢？
答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
类比迁移
问题2：将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？
答案：可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下.
追问1：如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？
答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下. 因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.
追问2：如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？
答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒. 所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少. 进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下.
追问3：条件（1）与条件（2）有何联系？
答案：如果要所有骨牌都倒下，就要保证“从第一块开始，如果前一块倒下，那么后一块也能跟着倒下.”为了表示起来更方便，引入一个字母k，表述上把“前一块”给换成“第k块”. 条件（2）就是若第k块倒，则第k+1块也一定能倒. 关于k的取值，首先它是正整数，其次，还必须保证k能取从1开始的正整数，所以k≥1.
类似的，如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下，并且从第二块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，即k≥2.
一般的，如果要求从第块开始，后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是：第块骨牌已经倒下，并且从第块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，也就是k≥. 因此，条件（2）中k的最小值就是条件（1）中骨牌倒下的初始值.
追问4：多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列的通项公式是”有相似性吗？
答案：一方面，为了保证所有骨牌都倒下，两个条件缺一不可. 而问题1中“”和“”这两个条件但凡有一个不知道，就无法写出任意一项. 另一方面，问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项，“”这个递推关系至关重要. 而多米诺骨牌游戏中的条件（2）实际上也是给出了一个递推关系：“第k块骨牌倒下”能推出“第k+1块骨牌倒下”. 假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去. 也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下. 这就是骨牌原理. 这二者有一定的相似性，可以试着将多米诺骨牌游戏的两个条件类比、迁移到证明问题1中.
问题解决
问题3：类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？
答案：需要分成两步.
追问1：多米诺骨牌游戏的条件（1）是确保第一块已经倒下. 那么猜想的证明中第一步应该是什么呢？
答案：第一步应该证明猜想在n=1时成立.
追问2：骨牌原理的条件（2）是确保“如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下.”类似的，猜想的证明中就是要证明什么呢？
答案：第二步应该证明若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 如果能证明这一点，那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”，再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”，依此类推，就可以使这个猜想成立的范围从1开始，向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数，从而完成证明.
抽象概括
问题4：你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？
答案：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当（）时命题成立；（2）以“当n=k（，k≥）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.
追问1：所有命题都是从n=1开始成立吗？
答案：证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数. 如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证. 所以，证明的第一步是：证明当（）时命题成立.
追问2：第二步中的k是怎样的正整数？
答案：k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”.
追问3：数学归纳法适用于怎样的数学问题?
答案：数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n).
追问4：数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？
答案：这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体. 第一步验证了当时这个命题成立，即为真. 第二步是假设为真，由“为真”推出“也为真”. 第二步的这个关系所关注的不是和是否分别成立，而是命题“若为真，则也为真”是否成立，强调的是这二者之间是否有递推关系.
课题小结
问题5：什么是数学归纳法？
答案：数学归纳法是用于证明一个与正整数n有关的命题的数学演绎证明方法.
追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
答案：第一步是命题递推的基础，确定了时命题成立，成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水. 就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒. 我们把第一步称为是归纳奠基. 而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k+1块骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性. 类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数开始，向后一个数接一个数地无限传递到以后的每一个正整数，从而完成证明. 所以，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可. 只有把两步的结论结合起来，才能命题对从开始的所有正整数n都成立.
追问2：为了得出数学归纳法的一般证明步骤，本节课经历了怎样的过程?
答案：从整体上来看，我们先是探究一个具体的问题，从特殊到一般，最终得出数学归纳法的一般步骤. 为了更好地理解数学归纳法，我们从多米诺骨牌游戏入手，虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境，但它能揭示数学归纳法的本质，类比价值较高. 我们类比、迁移“骨牌原理”，获得证明数学命题的方法，推广得到数学归纳法的原理. 这其中体现了数学抽象的过程.