高中数学5.1 导数的概念及其意义教案

这是一份高中数学5.1 导数的概念及其意义教案，共8页。

前面我们研究了两类变化率问题：在高台跳水运动员的速度问题中，我们用无限趋近于0时的平均速度逼近瞬时速度；在抛物线的切线斜率问题中，我们用无限趋近于0时的割线斜率逼近切线斜率.
问题1：上节课的两类问题解决方法有什么共性？
答案：首先，这两个问题的结论在形式上具有一致性. 而结论的一致往往源于共同的本质.
在速度问题中，平均速度是高度随时间的平均变化率，瞬时速度是高度随时间的瞬时变化率；在切线斜率问题中，割线斜率是抛物线上点的纵坐标关于横坐标的平均变化率，切线斜率是纵坐标关于横坐标的瞬时变化率.
虽然这两类问题来自不同的学科领域，但我们在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
问题2：一般地，对于函数y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如)处的瞬时变化率吗？
追问1：类比前两节课的问题，为了研究函数y＝f(x)在处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率？
答案：可以选取自变量x的一个改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 计算自变量从变化到这个过程中函数值的平均变化率.
追问2：自变量从变化到这个过程中，函数值的平均变化率如何表示？
答案：.
追问3：函数y＝f(x)在处的瞬时变化率如何表示？
答案：一般地，对于函数，无论小于0还是大于0，当无限趋近于0时，就从左侧或右侧无限趋近于. 此时，平均变化率如果也能像前面两个问题中的情况一样，都无限趋近于一个确定的值，这个值就是函数在处的瞬时变化率.
追问4：对于任意函数，当无限趋近于0时，平均变化率是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
答案：当无限趋近于0时，平均变化率不一定能无限趋近于一个确定的值.
例如，函数，我们考查其在附近的变化情况.
我们先计算出自变量x从0到0+的平均变化率
当时，.
当时，.
由此可见，当从小于0的一侧无限趋近于0时，平均变化率始终等于－1；当从大于0的一侧无限趋近于0时，平均变化率始终等于1. 平均变化率并没有无限趋近于同一个确定的值.
定义：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.
问题3：根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
答案：由导数的定义可知，问题1中运动员在时刻的瞬时速度就是函数在处的导数；问题2中抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数.
例1 设，求.
解：.
追问：你能总结出求函数在处导数的步骤吗？
答案：
第一步，写出函数从到的平均变化率并化简；
第二步，求极限，若存在，则导数.
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品需要对原油进行冷却和加热. 已知在第h时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
答案：导数是瞬时变化率的数学表达. 第2h原油温度的瞬时变化率就是原油温度函数在处的导数，也就是的值. 同理，第6h原油温度的瞬时变化率就是的值.
解：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和.
根据导数的定义，
.
所以.
同理可得.
所以，第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3℃/h和5℃/h.
追问2：和在这个实际问题中代表的意义是什么？
答案：表示在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为－3，这说明在第2 h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 这里导数值或者说瞬时变化率为负，体现了下降的变化趋势.
表示在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6 h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. 这里导数值或者说瞬时变化率为正，体现了上升的变化趋势.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？
答案：由物理知识可知，瞬时加速度就是速度的瞬时变化率. 因此，在第2 s时汽车的瞬时加速度就是速度函数v(t)在t＝2处的瞬时变化率，也就是；在第6 s时汽车的瞬时加速度就是.
解：
.
所以.
同理可得.
所以，汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度分别为2 m/s2和－6 m/s2.
追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？
答案：表示在第2 s时，汽车的瞬时加速度是2 m/s2，这说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s. 这里导数值或者说瞬时加速度为正，体现了速度增加的变化趋势.
表示在第6 s时，汽车的瞬时加速度是－6 m/s2，这说明在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s. 这里导数值或者说瞬时加速度为负，体现了速度减小的变化趋势.
定义：从求函数y＝f (x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数（简称导数）. y＝f (x)的导函数有时也记作，即
.
导数的几何意义
问题4：导数是否具有几何意义？
追问1：平均变化率的几何意义是什么？
答案：平均变化率的几何意义是割线的斜率k.
追问2：导数的几何意义应该如何理解？
答案：导数是当无限趋近于0时平均变化率的极限. 平均变化率的几何意义是割线的斜率. 借助GGB课件演示可以看出，无论大于0还是小于0，当无限趋近于0时，点沿着曲线无限趋近于点，割线无限趋近于一个确定的位置. 割线的斜率也就无限趋近于这个确定位置直线的斜率. 这个确定位置的直线就是曲线在点P0处的切线.
问题5：能否根据演示的过程给切线下个定义呢？
答案：在曲线y＝f (x)上任取一点P(x，f (x))，如果当点P(x，f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0 (x0，f (x0))时，割线P0 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0 T称为曲线y＝f (x)在点P0处的切线（tangent line）.
问题6：导数的几何意义是什么？
答案：由前面的分析可知，函数y＝f (x)从到的平均变化率的几何意义是割线P0 P的斜率k.
一方面，由导数的定义可知，当无限趋近于0时，平均变化率的极限就是函数在x＝x0处的导数，也就是.
另一方面，由切线的定义可知，当无限趋近于0时，点P沿着曲线无限趋近于点P0，如果割线P0 P能无限趋近于一条确定的直线，这条直线就是曲线在点P0处的切线P0 T，在这个过程中，割线的斜率k就无限趋近于切线P0 T的斜率k0.
因此，导数的几何意义就是切线P0 T的斜率k0.
总结：研究函数在某点处的导数，可以转化为相应曲线在对应点处切线的斜率；而研究曲线在某点处的切线也可以通过求相应函数在切点处的导数来确定斜率. 这就是数与形的相互转化.
例3 求曲线在点（1，－1）处的切线方程.
解：设.
其图象在点（1，－1）处切线的斜率
所以，所求切线方程为，整理得.
总结：解决切线问题的关键是利用导数的几何意义求出切线的斜率，即.
x
f (x)
问题7：图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？
答案：从图中可以看出，点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 我们可以利用信息技术将点P0附近的曲线不断放大（GGB演示），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y＝f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.
例4 图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.
追问1：如何描述曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况呢？
答案：可以用切线近似代替切点附近的曲线，用切线的斜率刻画曲线在切点附近的变化情况.
解：我们作出曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线.
（1）当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，斜率为0，所以. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率也就是. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率也就是. 这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近单调递减.
追问2：曲线h(t)在t＝t1和t＝t2附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？
答案：直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
总结：在这个问题中，我们应用以直代曲的思想，用切线近似代替了切点附近的曲线，用切线的斜率刻画了曲线在切点附近的变化情况. 斜率的正负反映了函数的增减，斜率的大小反映了增减的快慢.
思考：请描述曲线h(t)在t＝t3，t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况.
例5 图中是人体血管中药物浓度c＝f (t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象. 根据图象，估计t＝0.2，0.4，0.6，0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.
追问1：血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的图象有什么关系呢？
答案：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f (t)在此点处的切线的斜率.
追问2：如何计算切线的斜率？
答案：以t＝0.8时刻为例，作出t＝0.8处的切线. 可以利用图中的网格估计这条切线的斜率.
在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率
，
所以.
所以，在t＝0.8时刻，药物浓度瞬时变化率约为－1.4.
我们可以用同样的方法估计另外3个时刻药物浓度的瞬时变化率.
总结：现实生活中有些变量间的关系，不一定能通过解析式刻画，或者我们不知道对应的解析式，导数的几何意义使得我们可以通过函数的图象以及以直代曲的思想方法，对函数的变化情况作出估计.
小结反思
问题7：这节课你学到了什么？运用了哪些数学思想方法？
从知识角度，我们从前两节课讨论的两类变化率问题出发，由问题的共性抽象概括出导数的概念.；总结了根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；进而通过探究发现导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在x＝x0处切线的斜率. 通过对曲线及其切线的观察，发现可以用切线近似代替切点附近的曲线，进而用切线的斜率近似刻画曲线在切点附近的变化情况,这就是微积分中重要的思想方法——以直代曲.
导数的概念比较抽象，它是瞬时变化率的数学表达，蕴含了运动变化的观点和用平均变化率逼近瞬时变化率的极限思想.