高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法同步训练题

4.4  数学归纳法

重点练

一、单选题

1．用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为（    ）

 A．(5k-2k)+4×5k-2k  B．5(5k-2k)+3×2k   C．(5-2)(5k-2k)   D．2(5k-2k)-3×5k

2．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为（    ）

A．a=,b=c=         B．a=b=c=

C．a=0,b=c=         D．不存在这样的a,b,c

3．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（    ）

A．第一步应该验证当时不等式成立

B．从“到”左边需要增加的代数式是

C．从“到”左边需要增加项

D．从“到”左边需要增加的代数式是

4．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

5．用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为　　　　　　　　　　,从k到k+1时需增添的项是　　　　　　　　　　　　　　　. 

6．已知函数，对于，定义，则的解析式为________.

三、解答题

7．1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说明你的结论.

参考答案

1．【答案】B

【解析】假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以应用假设.故选B.

故选B

2．【答案】A

【解析】∵等式对一切n∈N+都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得

解得a=,b=c=.

故选A

3．【答案】D

【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；

因为，

所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；

所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。

故选D

4．【答案】B

【解析】用排除法：当时，，明显有，

下面用数学归纳法证明，

当时，，成立；

假设当时，成立，

则当时，，

所以当时，成立，

综上：对任意，都有；

另外，

所以，

所以当时，恒成立，排除CD；

当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，

故选B.

5．【答案】1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4

【解析】∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,

∴原式为1+2+22+23+24.

从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1.

故填1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4

6．【答案】

【解析】函数对于，定义，

．

，

，

由此可以猜想

以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；

假设时成立，即，

则时，也成立

故

故填．

7．【答案】存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立，证明略

【解析】假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,

令n=1,2,3得

整理得解得

令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.

于是对于n=1,2,3,等式Sn=(3n2+11n+10)成立.

用数学归纳法证明等式对于一切n∈N+都成立,过程如下:

①当n=1时,已得等式成立.

②假设n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,

即Sk=(3k2+11k+10),

则n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2

=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2

=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

=[k(3k+5)+12(k+2)]

=[3(k+1)2+11(k+1)+10],

∴当n=k+1时,等式也成立.

根据①②可以断定,对于一切n∈N+等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立.