高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法优秀教学设计

第四章  数列

4.4*  数学归纳法（1课时）

【教学内容】

     利用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题。

【教学目标】

1.通过具体情景，了解数学归纳法的原理，提升数学抽象和逻辑推理的素养。

2.用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，明确两个步骤的必要性，培养数学逻辑推算的核心素养。

【教学重难点】

教学重点：数学归纳法的原理和应用。

教学难点：数学归纳法的原理与证明过程。

【教学过程】

1．由已知结论引导数学思想：如何严格证明猜想

问题的提出：在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，通过定义an－an－1＝d(n≥2)及逐一列举，

归纳得到其通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)

但当时并没有给出严格的数学证明

那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都是成立的呢？

本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法。

2. 发现问题的基本过程：猜想，归纳，证明

问题探究：已知数列{an}满足，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想.

猜想：计算可得再结合，由此猜想：

如何证明这个猜想呢？

我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证.

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小的时候可以逐个验证，但当n比较大时验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法

提出问题：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.

3. 创设情境，抽象问题

情景引入：我们从多米诺骨牌游戏说起-------（多米诺骨牌动图）

游戏规则：码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下（制定一定的规则和规律-------递推关系式）

这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；

而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……。

总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

现实情景向数学知识的迁移：

在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

 经分析：可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下

数学原理的抽象归纳：

思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？

经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：

第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下.

这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.

事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

类比：

你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？

     你可以类比多米诺骨牌游戏解决这个数学问题吗？

显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下”的递推关系式，

那么猜想的正确性也就得到证明了.

迁移：

思考：对于前面的猜想“数列的通项公式是”，这里的递推关系式是什么呢？

问题的解决：

显然：数列{an}满足（条件1-----第一块骨牌倒下），

      （条件2------递推关系式）

根据以上两个条件，类似多米诺骨牌，我们能得到猜想的获得过程：

由，利用递推关系式，推出

由，利用递推关系式，推出

由，利用递推关系式，推出

设计意图：深度挖掘“骨牌原理”，突出“现实情景—数学问题—数学形式化”的研究轨迹。

4．问题引领，通过类比建构概念

思考：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？

显然，上述推导过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：

      以 成立为条件，推出 .

它相当于命题： 当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.（理解“自动递推，无穷验证”的思想）

只要能够证明这个命题，我们就可以在的条件下，由这个命题得到：

对任意正整数n，成立.

规范过程： 如果n=k时猜想成立，即

           那么：   

            即    n=k+1时，猜想也成立.

强化类比思想：类比多米诺骨牌，对于猜想“”，

由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……  

所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{an}的通项公式是.

构建概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

只要完成这两个步骤（缺一不可），就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，

————这种证明方法称为数学归纳法．

概况，提炼原理：

证明形式：

记P(n)是一个关于正整数n的命题．

条件：(1)P(n0)为真；

(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．

结论：P(n)为真．

解析原理：在数学归纳法的两步中，

第一步验证（或证明）了当n=n0时结论成立，即命题P(n0)为真；

第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：

若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．

完成这两步，就有P(n0)为真，P(n0+1)为真，P(n0+2)为真，……，P(k)为真，P(k+1)为真，……

从而完成证明.

设计意图：理解数学归纳法的形成过程，初步了解数学中“类比—迁移—从特殊到一般”的抽象过程

4. 解决问题

例、请用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)

问题：（1）利用数学归纳法证明这个命题，第一步应该是做什么？为什么？

——因为等差数列的通项公式涉及到全体正整数，所以第一步应该证明n=1时命题成立；

        （2）利用数学归纳法证明这个命题，第二步需要完成什么？

——第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：

         如果n=k时，命题成立；那么n=k+1时，命题也正确.

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，an＝a1＋(n－1)d成立；

     （2）假设当n=k(k∈N*)时，ak＝a1＋(k－1)d对n=1 成立，

          根据等差数列的定义，有   ak+1－ak＝d ，

             于是    

          即当n=k+1时，an＝a1＋(n－1)d也成立.

     由（1）（2）可知，an＝a1＋(n－1)d对任何n∈N*都成立.

设计意图：呼应开头，回归到问题的解决上。

5. 细讲例题，巩固原理方法

课本P48---例3、已知数列{an}满足，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

分析：（1）将数列{an}的递推关系式化为

     （2）通过计算的值，归纳共性并作出猜想，

     （3）应用数学归纳法证明猜想.

解：   由 ，可得

       由  可得 

      同理可得

      归纳上述结果，猜想     ③   

下面用数学归纳法证明这个猜想.

   （1）当n=1时，③式左边=，右边=，猜想成立.

   （2）假设当n=k(k∈N*)时，③式成立，即

        那么  

          即当n=k+1时，猜想也成立.

    由（1）（2）可知，猜想对任何n∈N*都成立.

课本P47--练习2、用数学归纳法证明：首项为a1，公比为的等比数列的通项公式是(n∈N*)，前n项和公式是(n∈N*).

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1×q0=a1，等式成立.

     （2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，

         则当n=k+1时，

          所以，当n=k+1时，等式成立.

   由（1）（2）可知，首项为a1，公比为的等比数列的通项公式是.

下面证明：首项为a1，公比为的等比数列的前n项和公式是.

证明：（1）当n=1时，左边=S1=a1，右边=a1，等式成立.

     （2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，

        则当n=k+1时，

        所以，当n=k+1时，等式成立.

 由（1）（2）可知，首项为a1，公比为的等比数列的前n项和公式是

6. 归纳小结，突破常见认知错误

小结：数学归纳法证题的三个关键点：

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值n0不一定是1.

若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1

例1：证明“凸n边形对角线的条数f(n)＝”时，第一步应验证n＝3是否成立．

例2：用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.

(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“n＝k”到“n＝k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．

例3：用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)

A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2                  B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2

C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2          D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2

【解析】选B.由数学归纳法知第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.

(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

例4、某同学回答“用数学归纳法证明(n∈N*)”的过程如下：

证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有<k＋1，

那么当n＝k＋1时，＝<＝(k＋1)＋1，

所以当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知对于任意n∈N*命题成立．

以上证法是错误的，错误在于(　　)

A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设

B．归纳假设的写法不正确

C．从k到k＋1的推理不严密

D．当n＝1时，验证过程不具体

答案　A

7. 反思与感悟　用数学归纳法证明不等式的两个个关键：

(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.

(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．

8．题型探究，应用概念

 数学归纳法的框图表示

口语：归纳奠基和归纳推理两者缺一不可

注意：1、第一步归纳奠基是第二步归纳递推的基础，不可或缺.

  2、第二步的归纳假设是归纳递推的根基，

     不使用归纳假设，不是数学归纳法.       

课本P47---练习1、下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？

（1）求证：当n∈N*时，n=n+1.

     证明：假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即k=k+1.

则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边.

    所以当n=k+1时，等式也成立.

   由此得出，对任何n∈N*，等式n=n+1都成立.

这里的错误在于缺少了第一步的验证，因此归纳假设n=k时成立没有基础--------------缺少了归纳奠基

（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是.

     证明：①当n=1时，左边=右边=a1，等式成立.

        ②假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即.

      则当n=k+1时，

      上面两式相加并除以2，可得

                           ，

     即当n=k+1时，等式也成立.

     由①②可知，等差数列的前n项和公式是.

这里的错误是第二步推理使用了“倒序相加法”，而没有利用归纳递推，不是数学归纳法

9．列举常见错误，夯实概念

题型一   明确第一步要解决的问题

例1、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)的第一步需证明(　　)

A．1<2－                        B．1＋<2－

C．1＋＋<2－                D．1＋＋＋<2－

答案　C

题型二   由n＝k时成立得n＝k＋1时成立时，必须使用归纳假设

例2、设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)

A．Sk＋   B．Sk＋＋

C．Sk＋－   D．Sk＋－

答案　C

解析　Sk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－

＝Sk＋－.

例3、用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．

解释 　当n＝k时，左边=

       当 n＝k+1时，

 答案   2(2k＋1)

9.  课终小结   用数学归纳法证明等式或不等式问题的四个关键点

10．分层作业，巩固提高

设计意图:在数学的学习上，通过布置适合同学们学情的作业，让每位同学都能在数学上有所提高，体验成功的快乐。