人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法同步达标检测题

4.4*　数学归纳法

必备知识基础练

1.利用数学归纳法证明不等式1++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(　　)

A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项

2.(2021上海交大附中高一下入学检测)用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a-b整除”时,其第二步论证应该是(　　)

A.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=k+1时命题也成立

B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立

C.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立

D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立

3.(2021上海黄浦高二期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(　　)

A.f(k)+[2(2k+1)]

B.f(k)·[2(2k+1)]

C.f(k)+

D.f(k)·

4.(多选题)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:

①当n=1时,≤1+1,不等式成立.

②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,

<

=(k+1)+1,

∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是(　　)

A.证明过程全都正确

B.当n=1时的验证正确

C.归纳假设正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

5.(多选题)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是              (　　)

A.该命题对于n=6时命题成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与k取值无关

D.以上答案都不对

6.用数学归纳法证明1-+…++…+时,第一步应验证的等式是　　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　. 

7.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).

8.(2021陕西西安铁路一中高二期末)在数列{an}中,a1=,an+1=.

(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

关键能力提升练

9.(2021江西赣州高二期末)用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边(　　)

A.增加了 

B.增加了 

C.增加了 

D.增加了

10.(2021浙江温州期中)利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(　　)

A.1+2+3+…+k

B.1+2+3+…+(k-1)

C.1+2+3+…+(k+1)

D.1+2+3+…+(k-2)

11.(多选题)用数学归纳法证明对任意n≥λ(n,λ∈N*)都成立,则以下满足条件的λ的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

12.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+　　　　　. 

13.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.

14.用数学归纳法证明:×…×(n∈N*).

15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).

(1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明猜想.

学科素养创新练

16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-nan+1(n∈N*).

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;

(2)用数学归纳法证明:当n>1时,+…+.

参考答案

4.4*　数学归纳法

1.D　当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.

2.D　根据证明的结论,n为正偶数,故第二步的假设应写成:假设n=2k,k∈N*时命题正确,即当n=2k,k∈N*时,a2k-b2k能被a-b整除,再推证n=2k+2时正确.故选D.

3.B　由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].

4.BCD　n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.

5.AB　由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.

6.1-　当n=1时,应当验证的第一个式子是1-,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是.

7.证明①当n=1时,左边=12=1,

右边=(-1)0×=1,

左边=右边,等式成立.

②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.

则当n=k+1时,

12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2

=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2

=(-1)k(k+1)·(k+1)-

=(-1)k·.

∴当n=k+1时,等式也成立,

根据①②可知,对于任何n∈N*等式成立.

8.(1)解由a1=,an+1=,得a2=,a3=.

猜想an=.

(2)证明①当n=1时,a1=,结论成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=,

那么,当n=k+1时,ak+1=,结论成立.

由①和②可知对任意n∈N*,都有an=成立.

9.D　当n=k时,+…+,

当n=k+1时,+…+,

左边增加了.

10.C　依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,

则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,

∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).

11.CD　取n=1,则不成立;

取n=2,则不成立;

取n=3,则成立;

取n=4,则成立.

猜想当n≥3时,(n∈N*)成立.

证明:当n=3时,成立.

设当n=k(k≥3,k∈N*)时,有成立,

则当n=k+1时,有,

令t=,则=3-,

因为t>,故>3-,

因为>0,所以,

所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知对任意的n≥3都成立.故选CD.

12.π　由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.

13.解取n=1,2,3可得

解得a=,b=,c=.

下面用数学归纳法证明+…+.

即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),

①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;

②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,

即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,

则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2

=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]

=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),

故当n=k+1时等式成立.

由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,

故存在a=,b=,c=使已知等式成立.

14.证明①∵当n=1时,=-<0,

∴,

∴,即当n=1时,不等式成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即×…×,

则当n=k+1时,×…×.

∵2-2=

<0,

∴2<2,

∴,即当n=k+1时,原不等式也成立.

综合①②可知,对于任意n∈N*,×…×成立.

15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=,f3(x)=f1[f2(x)]= .

猜想:fn(x)=(n∈N*).

(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N*),

①当n=1时,f1(x)=,显然成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,

则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立.

结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.

16.(1)解由a1=2,得a2=-a1+1=3;

由a2=3,得a3=-2a2+1=4;

由a3=4,得a4=-3a3+1=5;

由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.

下面证明an=n+1.

当n=1时,a2=2=1+1,成立.

假设当n=k(k≥2)时成立,即ak=k+1,

那么当n=k+1时,ak+1=-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1,即当n=k+1时也成立.

所以an=n+1.

(2)证明①当n=2时,=1,不等式成立,

②假设当n=k(k∈N*,k≥2)时结论成立,即+…+,

当n=k+1时,+…+,

而<0,

所以+…+,

即n=k+1时,结论也成立.

由①②可知,当n>1时,+…+.