人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 第五章 一元导数及其应用章末重点题型归纳

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第五章 一元导数及其应用章末重点题型归纳 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1). (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt). (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq \x\to(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 知识点6 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx). 知识点7 基本初等函数的导数公式 注：①对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq \f(1,lna)(lnx)′＝eq \f(1,lna·x). 知识点8 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 注： (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点9 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点10 导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 知识点11 函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点12 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． 注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 知识点13 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． 注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解． 知识点14 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间． （1）单调递增 ①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡 ②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓 （2）单调递减 ①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓 ②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡 ②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． ③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 ④利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 知识点14 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点15 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 知识点16 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点17 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 题型一 平均变化率和瞬时变化率 1．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______. 5．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（　　） A． B． C． D． 题型二 导数定义的应用 6．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数可导，且，（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 7．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考期末）已知函数，若，则__________. 8．（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 9．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数的一个极值点为1，则（    ） A．6 B． C．3 D． 题型三 导数的基本运算 10．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）下列函数的求导运算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．－8 D．1 12．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数，满足，且，则（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 导数的几何意义及其应用 14．（2023秋·江苏南通·高二校考期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 15．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）函数的图象在处的切线方程为______. 16．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2023秋·天津河西·高二北京师范大学天津附属中学校考期末）过点作曲线的切线，则切线方程是__________． 18．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）直线与曲线相切于点，则（    ） A． B．1 C． D．2 19．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 20．（2023秋·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（2023秋·湖南岳阳·高二岳阳一中校考期末）已知函数，函数，若曲线和存在公切线，则a的取值范围为___________. 22．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型五 利用导数研究函数的单调性 23．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 的单调递减区间是（      ） A． B． C． D． 24．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 25．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个不相等的实数根，证明：． 26．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数 (1)讨论的单调性 (2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值. 27．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性. 28．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)若有两个极值点，且，求b的取值范围 题型六 利用导数解决函数的单调性的应用 29．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． 30．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）若，则（    ） A． B． C． D． 31．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设m为实数，已知函数，则不等式的解集为______ 33．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________. 35．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用导数解决函数的极值问题 36．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，则的极大值为________________ 37．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．函数在上单调递减 C．为函数的极大值点 D．是函数的最小值 38．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数在处有极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值. 39．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（    ） A．(－3,3) B．(－11,4) C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11) 40．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若，且函数在处有极值，则的最大值等于（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 41．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______． 42．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是________． 43．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B．是的极小值点 C． D． 45．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有三个极值点，求实数的取值范围. 题型八 利用导数解决函数的最值问题 47．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C． D． 48．【多选】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在处的切线方程为 C．在上的最小值为 D．在区间上单调递增 49．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求在上的最值. 50．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 51．（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知函数，当时，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 利用导数证明不等式 52．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知函数（）. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 53．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 54．（2023秋·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知函数 (1)已知在上为单调递增，求的取值范围； (2)若在有两个极值点，求证：. 55．（2023秋·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． 56．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 57．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知函数． (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)在（1）的条件下证明:对任意，都有； (3)设，讨论函数的零点个数． 题型十 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 58．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）已知对于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为______. 60．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数（为常数）. (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 61．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 62．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 63．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知函数，． (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 题型十一 导数与函数零点 64．【多选】（2023秋·福建南平·高二统考期末）函数，以下说法正确的是（    ） A．函数有零点 B．当时，函数有两个零点 C．函数有且只有一个零点 D．函数有且只有两个零点 65．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：在上只有一个零点. 66．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，函数． (1)求函数的极值： (2)若函数无零点，求的取值范围． 67．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数. (1)求函数在上的零点个数； (2)当时，求证：. （参考数据：） 68．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围. 69．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数在时有极值0． (1)求函数的解析式； (2)记，若函数有三个零点，求实数m的取值范围． 70．（2022·江苏·高二期末）已知函数． (1)若，求函数的图像在处的切线方程； (2)若，求函数的单调区间； (3)若，已知函数有两个相异零点，求证：． 71．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数．若函数有两个不同零点，， (1)求实数a的取值范围； (2)求证：． 72．（2022春·贵州六盘水·高二统考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 73．（2023秋·江苏·高二统考期末）已知函数． (1)记函数，当时，讨论函数的单调性； (2)设，若存在两个不同的零点，证明：（为自然对数的底数）． 题型十二 利用导数解决实际问题 74．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 75．（2022·江苏·高二期末）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 76．（2022春·上海闵行·高二校考期末）如图，用一张边长为3的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问： (1)求关于的函数关系式，并写出的范围； (2)在什么范围内变化时，容积随的增大而增大?随的增大而减小? (3)取何值时，容积最大？最大值是多少？ 77．（2022春·四川眉山·高二统考期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 78．（2022春·北京西城·高二统考期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是． (1)把商品的利润表示为生产量x的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数原函数导函数1（常数的导数为0）2f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1（熟记）3f(x)＝sin xf′(x)＝cos x4f(x)＝cos xf′(x)＝－sin x5f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axln a6f(x)＝exf′(x)＝ex7f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq \f(1,xln a)8f(x)＝ln xf′(x)＝eq \f(1,x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减恒有f′(x)＝0是常数函数，不具有单调性导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)