人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展十二：导数大题的8种常见考法总结-直击高考考点归纳-讲义

拓展十二：导数大题的8种常见考法总结 考点一 利用导数求曲线的切线问题 1．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知函数满足. (1)求在处的导数； (2)求的图象在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再令即可得出答案； （2）由（1）求得，再根据导数的几何意义即可得出答案. 【详解】（1）由， 得， 则， 所以； （2）由（1）得， 则， 所以的图象在点处的切线方程为， 即. 2．（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知函数满足. (1)求的值； (2)求的图象在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得出，令可得出的值； （2）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，，解得. （2）解：由（1）可知，则，则，， 因此，的图象在处的切线方程为，即. 3．（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知函数的图象过点，且． (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，， 所以②， 由①②解得：，． （2）由（1）知， 又因为，， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 4．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数 (1)讨论的单调性 (2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，结合（2）中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则， 由可得，， ①当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当时，即当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、； ③当时，即当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）解：设切点为， 对函数求导得， 所以，切线方程为， 将点的坐标代入切线方程整理可得，即， 故关于的方程有两个不等的实根， ①当时，函数在上单调递增，则方程至多一个实根，不合乎题意； ②当时，则，故当时，， 此时方程至多一个实根，不合乎题意； ③当时，则， 则，解得，合乎题意. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 5．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线方程； （2）二次求导后，对a分类讨论，分别研究单调性，求最值进行验证. 【详解】（1）当时，， 所以. 故在处的切线方程为. （2）由题意知，令， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，则， ①当，即时，，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）利用导数解决恒（能）成立问题． 6．（2023秋·山西晋城·高二统考期末）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线 (1)求a的值. (2)求函数的单调区间与极值； 【答案】(1) (2)增区间为,减区间；极小值,没有极大值. 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知,于是可用导函数求的单调区间与极值； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 所以函数在时取得极小值,没有极大值. 7．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数． (1)若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若，试判断的零点的个数． 【答案】(1)1 (2)答案见解析. 【分析】（1）先求导，把代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，再求切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）函数的零点个数，即为方程的解的个数，再转化为函数的零点个数，对求导，分类讨论当，时函数的单调性，再找到零点的个数. 【详解】（1）若，，，所以，即切线的斜率为2. 又，即切点坐标为. 所以在处的切线方程为， 令，解得；令，解得. 所以在处的切线与坐标轴围成的面积. （2）由且，整理得． 令，．    若，则，令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点．    若，令，又，，，所以在上有两个零点且．令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，所以，，又，所以在区间上有唯一零点. ，所以在区间上有唯一零点，所以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点．   综上，若，在上有且仅有两个零点； 若，在上有且仅有3个零点． 【点睛】关于函数导数的零点问题，一般要进行分类讨论，难度比较大. 1.函数零点个数也就是函数图像与x轴交点的个数，所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题. 2.对于含参函数的零点个数，可以对函数进行适当的变形，也可以进行参变分离，利用导数研究函数的单调性和极值，做出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”. 8．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知函数. (1)求曲线在处切线方程； (2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1），所以，所以，， 所以切线方程为：，整理得. （2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为， 则切线方程为：， 又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得， 所以切线方程为：，整理得. 考点二 利用导数求函数的单调性 9．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）已知函数在处取得极值． (1)求的解析式，并讨论和是函数的极大值还是极小值； (2)试求函数的单调区间． 【答案】(1)，是函数的极大值，是函数的极小值 (2)单调递增区间为和；单调递减区间为 【分析】（1）求导得到导函数，根据极值点得到是方程的两个实根，解得，确定函数的单调区间得到极值. （2）根据导函数的正负确定函数的单调区间即可. 【详解】（1），在处取得极值， 故是方程的两个实根．所以，解得， 所以，． 令，得或；令，得． 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 故是函数的极大值，是函数的极小值． （2），． 令，得或；令，得． 故的单调递增区间为和；单调递减区间为． 10．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等式； （2），对分类讨论即可得出函数的单调性． 【详解】（1）当时，令， ， 可得时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，， ∴，即． （2）函数的定义域为， ，   当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减； 当时，，，函数在单调递增． 综上，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增. 11．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数． (1)若曲线经过点，求该曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求得，利用切点和斜率求得切线方程. （2）由在区间恒成立分离常数，结合三角函数的最值求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，， ， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， ， 依题意可知在区间恒成立， 即， ， 所以. 12．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）已知. (1)若函数在处取得极值，求实数的值； (2)若，求函数的单调递增区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，检验即可； （2）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调递增区间即可； 【详解】（1）解：因为， 所以，依题意，即，解得， 此时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以. （2）解：因为， 所以，， 则， 令，则或， 当时，令可得， 函数的单调递增区间为； 当时，令，可得或， 函数的单调递增区间为，； 当时，在上恒成立， 函数的单调递增区间为； 当时，令可得：或， 函数的单调递增区间为，； 综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，， 当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，. 13．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，． (1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值． (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案； （2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，，与分类讨论，得到函数的单调区间. 【详解】（1）定义域为， ，因为在x＝1处取得极值， 所以，解得：， 经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故； （2）， 当时，恒成立，令得：， 令得：， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，故令得：或， 令得：， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，故的单调递增区间为； 当时，，令得：或， 令得：， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 14．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数） (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答. （2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答. 【详解】（1）函数，求导得：，则有，而， 因此曲线在点处的切线方程为，则有， 即，而，则， 所以实数的值为1. （2）函数的定义域为，， 当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增， 当时，由解得，， 当，即时，当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 当，即时，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，递减区间是，递增区间是； 当时，递增区间是，，递减区间是； 当时，递增区间是. 考点三 利用导数求函数的极值 15．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导得到，确定函数的单调区间，根据单调区间计算极值得到答案. （2）在上恒成立，得到，解得答案. 【详解】（1）当时，，，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，无极大值. （2）在上恒成立，即在上恒成立，所以. 16．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数，． (1)求的极值； (2)令，若，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，分类讨论与两种情况，利用导数与函数的单调性求得的单调性，进而得到的极值； （2）法一：先由（1）得，再构造函数，从而将问题转化为，利用导数求得的最大值，由此得解； 法二：构造函数，将问题转化为证，利用导数分类讨论的取值范围得到的单调性，从而得到关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）由题知，， 得， 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； 综上：当时，有极大值，无极小值； 当时，有极小值，无极大值. （2）法一： 由，即，即， 令，由（1）知， 从而得，即， 令，则， 又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取到最大值，且， 所以，即a的取值范围为． 法二： 由，即，即， 令，由（1）知， 令，，则， 因为，令，则， 当，即时，则，在上单调递增， ，与题意矛盾； 当，即时， 令，得；令，得； 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，解得，所以； 当，即时，，故恒成立， 所以在上递增，即， 故，解得， 而，无解，舍去； 综上，，即a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知函数． (1)当时，求在上的单调区间； (2)若在内有极值，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为； (2)． 【分析】将代入中，求导后分别令和，求出单调区间即可； 对求导，根据在内有极值，可知在内存在变号零点，然后将问题转化为与x轴在内有交点，再求出的取值范围即可解决． 【详解】（1）当时，，则， 令，得，故在上单调递减； 令，得，故在上单调递增， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）由，得， 由在内有极值，可知在内存在变号零点， 即方程在内存在解， 所以函数与x轴在内有交点， ， 当时，，单调递增， 又，则在恒成立，则与x轴在内没有交点，不符合题意； 当时， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减， 则当时，取得最小值， 当时，，则与x轴没有交点，不符合题意； 当时，， 则与x轴有公共点，则与x轴在内没有交点，不符合题意； 当时，，，， 则与x轴在内至少有一个交点，符合题意， 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1），分和讨论即可； （2），题目转化为有两个零点，利用分离参数法得，设，利用导数研究得图像即可得到答案. 【详解】（1），， 当，则 若,则在上单调递增； 若,令，即， 则在上单调递增. 令，解得，则在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2），， 因为有两个极值点,所以有两个零点, 显然,1不是的零点，由,得. 即直线与有两个交点， ， 令, 令，解得， 且当时，，当时， 所以在上单调递增,在上单调递减, 而,故, 所以在,和上单调递减， 又在上,趋近于0时,趋近于正无穷，趋近于1时,趋近于负无穷， 故函数在之间存在唯一零点， 在上, 趋近于1时, 趋近于正无穷，趋近于正无穷时,趋近于0. 作出图形如下图所示： 所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点，然后利用分离参数法，得到，转化为直线与有两个交点，研究的图象，数形结合即可得到的范围. 19．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）先将代入，然后求导，利用导函数的正负判断其单调性，求出单调区间即可； （2）求导将极值的问题转化为导函数的零点问题，然后让导函数有三个不相同的变号零点，求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， . 令，得或；令，得. 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， . 若函数有3个极值点，则有两个不同的零点，且都不是. ，故不可能是函数的零点. 所以，令，解得. 在上，单调递减； 在上，单调递增. 的最小值为， ，解得，又趋向或时，趋向， 当时，存在，使得，且. 实数的取值范围为. 考点四 利用导数求函数的最值 20．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最值． 【答案】(1) (2)在区间上的最小值为-3，最大值为15. 【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可求解； (2)求出函数在上的所有极值和，通过比较即可求解. 【详解】（1）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数在上有极小值 而， 所以函数在区间上的最小值为-3，最大值为15. 21．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程； （2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值． 【详解】（1），. ，所以切线方程为，即. （2） 在单调递增； 在单调递减， 时，取极大值也是最大值， ， . 22．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）设函数． (1)若是函数的极值点，求在上的最大值； (2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出后，根据可求出，再利用导数可求出在上的最大值； （2）根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，以及曲线在点处的切线方程，根据两直线重合列式可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为是函数的极值点，所以，得， 此时，， 当时，，当时,, 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以是的一个极小值点，所以符合题意. 由以上可知，在上为减函数，在上为增函数， 又，， 所以， 所以在上的最大值为. （2）由（1）知，，所以， 又，所以切线，即， 假设直线与曲线切于， 因为，所以，又， 所以在处的切线方程为，即, 因为直线与直线重合， 所以，消去，得， 解得或. 23．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数且． (1)求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)调递增区间为，单调递减区间为 (3)最大值为，最小值为 【分析】(1)求导得，代入，得可得答案； (2)由题意可得，分别解，，即可得函数的单调递增、减区间； (3)根据导数的正负，判断函数在上的单调性，即可得答案. 【详解】（1）解：因为函数， ∴， 由，得， 解得； （2）解：由（1）可知， 解不等式，得或， 所以函数的单调递增区间为， 解不等式，得， 所以函数的单调递减区间为； （3）解：当时，函数与的变化如下表所示： 令， 解得或， 因为，； 所以当时，函数取得极大值； 又因为，， 所以当时，函数取得极小值， ∴函数的最大值为，最小值为． 24．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数在处有极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案. （2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案. 【详解】（1）， ， 解得， 则， 若，则；若，则或, 即函数在处有极大值且极大值为，符合题意， 故： （2）由（1）知，， ， 若，则；若，则或, 在上单调递增，在上单调递减, 又， . 25．（2023秋·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)的极小值为，极大值为11； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答. （3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答. 【详解】（1）当时，函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增， 因此当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以的极小值为，极大值为11． （2）函数，，求导得， 因为，则由得，显然， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，则函数在上的最小值为，解得， 所以实数a的值为1. 考点四 利用导数证明不等式 26．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知函数（）. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)当时， 在单调递减，单调递增， 当时， 在单调递增，单调递减. (2)证明见解析 【分析】(1)根据导数讨论单调性即可； (2)根据导数与单调性和极值的关系得到，即可证明. 【详解】（1）， 当时，得解得，得解得， 所以在单调递减，单调递增； 当时，得解得，得解得， 所以在单调递增，单调递减； （2）因为， 由（1）知，当时，单调递增， 所以，即， 设，， 由得解得， 由得解得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 从而恒成立，即恒成立. 27．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知函数 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由在上单调递增，得恒成立，讨论的单调性，求的最小值大于等于恒成立，建立不等关系，求得答案. （2）利用分析法转化需要证明的结论为，构造函数利用导数研究单调性，可判断函数在上存在唯一零点，结合重要不等式对式子进行放缩，结论得证. 【详解】（1）在上单调递增，所以恒成立， 令恒成立， 当时，恒成立. 当时，所以h（x）在上单调递增， 所以时，，故不符合题意. 当时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，，单调递减， 所以 解得. 综上，的取值范围是. （2）证明：当时，， 要证，即证， 只需证， 即证 令，令， 当时，，当时，， 所以 ， 故存在使得 所以， 即在时递增，在时递减. 令， 则二次函数关于直线对称，函数图象开口向下，且， 故当时，，又 ∴， 又，所以函数在上存在唯一零点， 使得. ,当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 即，当且仅当时等号成立 因为取等号的条件不一致，故. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 28．（2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考期末）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，求证：当时，恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可得单调区间； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； ①当时，，则在上恒成立， 的单调递减区间为，无单调递增区间； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由得：； 令，则，， 当时，，在上单调递增， ，，，使得， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，，，即在上恒成立， 当时，恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、利用导数证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最大值的求解问题，通过导数得到函数单调性，进而确定最大值. 29．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解； （2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可 【详解】（1）由可得， 当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，令，则或； 由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，， ①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去； ②若，即时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； ③若，即时， 当时，，单调递减；当或时，，单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 综上所述，的取值范围. （2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：， 设，， 设，，， 当，当， 于是在单调递增，在单调递减， 于是， 则由可得， 当，当， 且在单调递减，在单调递增， 那么，即证 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 30．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程． (2)当时，求证． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）求出，由求得，然后计算出，用点斜式得切线方程并化简； （2）求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点，由得间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论． 【详解】（1）由解得， 所以，， 所以，，切线方程为， 即所求切线方程为； （2）证明得定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增， 故②，由①式得③， 将①③两式代入②式，结合 得：， 当且仅当时取等号，结合②式可知，此时， 故恒成立． 【点睛】方法点睛：用导数证明不等式的方法：利用导数求得的最小值，证明最小值大于0即得，问题常常遇到最小值点不能直接求出，只有利用零点存在定理确定为，为此可利用的性质：确定与参数的关系，从而化为一个变量的函数（一元函数），然后由不等式的知识或函数知识得出其大于0. 31．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数． (1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程； (2)当时，对于任意，证明：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）易知不在上，设切点，由导数的几何意义求出切线方程，将代入求出对应，即可求解对应切线方程； （2）构造，求得，再令，通过研究正负确定单调性，再由正负研究最值，进而得证. 【详解】（1）由题，时，，， 设切点，则切线方程为， 该切线过点，则，即， 所以或．又；；，． 所以，切线方程为或； （2）设，则， 令，则， 可知，时，；时，， 故时均有，则即在上单调递增，， 因为时，则，，故在上单调递增， 此时，． 所以，当时，对于任意，均有． 32．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知函数（e为自然对数的底数）. (1)求f(x)的最大值； (2)设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值； (3)证明. 【答案】(1)1； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最大值作答. （2）利用（1）的结论可得，进而可得当时，，再按、探讨恒成立，构造函数并证明不等式作答. （3）利用（2）的结论，构造数列不等式，再借助等比数列求和公式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得：，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. （2）由（1）知，，，即，因此对，， 当时，对，，则有， 于是当时，对，恒成立， 当时，函数的定义域为，，必有，解得， 而为整数，则最大值不大于2， 因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号， 又，恒成立，当且仅当时取等号，于是对，， 综上得当时，对，恒成立，即整数， 所以整数a的最大值为2. （3）由（2）知，，，取，有，因此， 从而， 所以原不等式成立. 【点睛】思路点睛：涉及含参函数不等式恒成立问题，可以结合导数分段讨论，确定临界值，再利用导数证明不等式作答. 33．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到，确定函数的单调区间，根据单调区间计算最值得到证明. （2）求导得到，讨论，，三种情况，根据导函数的正负确定函数的单调性. （3）根据得到，依次带入数据相加得到证明. 【详解】（1）当时，，令，解得， 当在之间变化时，及的变化情况如下表： 因此当时，取得最大值，故； （2），所以，令，解得， ①当时，方程的解为，且， 在之间变化时，及的变化情况如下表： 在单调递增，在单调递增， ②当时，方程无解，此时恒成立，故在单调递增， ③当时，方程的解为，但，当时，恒成立，故在单调递增， 综上所述： 当时，在单调递增，在单调递减， 当时，在单调递减； （3）由（1）知，，其中“=”当且仅当时成立， 当时，且，故， 即， 于是当时，依次有，，，， ， 相加得， 即 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，讨论函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用构造是解题的关键，需要熟练掌握这种技巧. 考点五 利用导数解决恒（能）成立问题 34．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数（为常数）. (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性； （2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可． 【详解】（1）定义域为，， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增. （2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ， 只需，所以实数的取值范围是. 35．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 若，，函数在上单调递减； 若，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，函数在上单调递减； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）令， 于是恒成立，即恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，，则有， 所以的取值范围是. 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法 (1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题； (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 36．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）函数，. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值，无极小值； (2) 【分析】（1）直接求导，根据导数判断函数的单调性与极值； （2）构造，由，可得，可得，又，，即得，可得时，恒成立. 【详解】（1）因为，所以， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 故在处取得极大值，无极小值； （2）因为时，，即， 故， 令， 故时，恒成立，故，即（必要性）， 当时，因为，， 因为，又由，由（1）知，， 故，故时，恒成立（充分性）， 即时，恒成立， 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 37．（2023秋·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考期末）已知函数，其中. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)若对任意都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)f（x）在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据题意将代入中，求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性； （2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，令，当时，解得，故当时，；当时，. 所以，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，则. 当时，，所以. 当时，，故在上单调递增. 又，故. 当时，令，则，故在上单调递增. 故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，，故不符合 . 综上所述，的取值范围为. 38．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答. （2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答. 【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 39．（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）已知函数． (1)若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值； (2)若不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)且 【分析】（1）求导后可知，当时取最大值，求得的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到函数的极值； （2）利用导数研究函数的单调性，得到，将有解转化为，设函数，结合函数的单调性得到，则等价于且，由此求得的取值范围． 【详解】（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2， 即取得最大值为2， 由题可知的定义域为， 则， 即是关于的二次函数， ，当时，取得最大值为， ， 而，， 此时， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 的极小值为，无极大值． （2），其中且， 在上，，则单调递减， 在上，，则单调递增， ， 关于的不等式有解， ， ，， 设，则， 在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减， ，即在内恒成立， 要求，即， 则只需即可，即，等价于， 解得：且， 的取值范围是：且. 40．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性. (2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 考点六 利用导数解决零点问题 41．（2023秋·河南周口·高二项城市第一高级中学校考期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)只有一个零点，理由见解析 【分析】（1）求导，求得切线斜率，再由点斜式得解； （2）判断函数的单调性，进而可得最小值； （3）结合零点存在定理和单调性，即可得出结论． 【详解】（1）函数的定义域为，， 则，又， 由点斜式可得，所求切线方程为，即； （2）令，解得；令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （3），，则， 令，解得；令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则在上无零点， 在上单调递增，，， 则在只有一个零点， 综上在定义域只有一个零点． 42．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，函数． (1)求函数的极值： (2)若函数无零点，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性，由极值定义可求得结果； （2）根据单调性可知，则只需，解不等式即可. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； 令，解得：， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即； 若无零点，则，即，，解得：， 则的取值范围为. 43．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)单调增区间；减区间 (2) 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ， 令可得，列表如下： 所以，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由，可得，则直线与函数的图象有两个交点， 函数的定义域为，， 由，可得，列表如下： 所以，函数的极大值为， 且当时，， 当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以， 且，， 又， 根据以上信息，作出其图象如下： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 44．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为 (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负即可求解， （2）求导，分类讨论，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得，列表如下： 所以的极小值为. （2）函数有两个零点即有两个零点. 因为， ①当时，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意； ②当时，由得， 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. （i）若，则，最多只有一个零点； （ii）若，因为，且， 所以在区间内有一个零点. 令，则， 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. 所以，故. 所以，又， 所以在区间内有一个零点. 综上可知：当时，有两个零点， 故的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 45．（2023秋·山西晋城·高二统考期末）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点，，求实数a的范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递减； 当时，单调递减区间，单调递增区间. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案; （2）分类讨论a的取值，确定的单调性，若为单调函数，不可能有两个零点;当先减后增时，要使有两个零点，需要其最小值小于0，求得a的取值范围，再证明确实有两个零点. 【详解】（1）由于，则定义域为 ， 可得：， 当时，∵，∴，故在区间上单调递减； 当时，∵，∴由可得，由得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2），，， 当时，， 为单调函数，不可能有两个零点，舍去; 当时，由得或(舍去). 当时， ，为减函数， 当时， ，为增函数， 所以当时取得最小值， 要使有两个零点，，需要，即， 解得， 又，且，所以在 上有唯一的零点， 令，， 当时， ，为减函数， 当时， ，为增函数， 所以当时取得最小值，故，即 （当且仅当时取等号）， ，且， 所以在 上有唯一的零点， 综上:当时， 有两个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法: (1)将函数可方程变形构建新函数，利用导数研究函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理，先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 46．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数在时有极值0． (1)求函数的解析式； (2)记，若函数有三个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，检验所得a，b的值是否符合题意，从而得解析式； （2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为在时有极值0， 所以，即，解得或， 当，时，， 函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去， 当，时满足题意，所以常数a，b的值分别为，， 所以． （2）由（1）可知， ， 令，解得，， ∴当或时，，当时，， ∴的递增区间是和，单调递减区间为， 当时，有极大值；当时，有极小值， 要使函数有三个零点，则须满足，解得． 47．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数（）． (1)试讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，（），求证：． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可； （2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出. 【详解】（1）由已知，的定义域为，， ①当时，，恒成立， ∴此时在区间上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）若函数有两个零点，（）， 则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，， 当时，，当时，，（*） ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴只需证明，即有. 下面证明， 设 ，， 设，则， 令，解得， 当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， ∴，在区间上单调递增， 又∵，∴， 即， ∴由（*）知，，∴，即. 又∵，， ∴，原命题得证. 【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到. 48．（2023秋·山西太原·高二统考期末）（B）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若有两个极值点，且，求证：. （参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先对求导，再分类讨论与，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）先将问题转化为的图像与的图像有两个交点，从而利用导数研究的图像得到；再利用极值点偏移，构造函数证得，由此得证. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 当时，即时，， 则在上单调递增； 当，即时，，， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为， 所以， 因为有两个极值点，所以有两个零点，即方程有两个根， 令，则的图像与的图像有两个交点， 又，令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 又当时，，则；当时，，则； 当趋于无穷大时，的增长速率远远小于的增长速率，所以趋于， 由此作出的图像如下： 所以，则， 又，则， 故， 因为，令，则， 令，则，， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增，则， 故当时，，，则，所以在上单调递增， 又，则，即，所以， 故，即， 又，所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 考点七 利用导数解决双变量问题 49．（2023秋·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知函数 (1)已知在上为单调递增，求的取值范围； (2)若在有两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据在上为单调递增，可得，在上恒成立，即可转化为一元二次不等式在上恒成立，即可求得的取值范围； （2）若在有两个极值点，即有在上有两个根，转化为为方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得的范围与满足的关系式，从而化简，再将所证问题转化为，构造函数，求导得单调性，即可证明. 【详解】（1）由，， 求导得， 因为在上为单调递增，故，在上恒成立， 又恒成立，所以在上恒成立， 由时，即，所以的取值范围为. （2）证明：在上由两个极值点，有在上有两个根， 即为方程的两个根，所以，解得， 可得，且， 所以 将代入上式，可得： ， 由题意，需证， 令， 求导得， 当时，，则在上单调递减， 即，故. 50．（2022秋·陕西渭南·高二期末）已知函数. (1)讨论极值点的个数； (2)若有两个极值点，且，证明:. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论导函数的实数根即可求解极值点， （2）构造函数和，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性. 【详解】（1）,则, 显然不是的零点, 令,则, 在单调递减,在（0,1）单调递减,在单调递增. 当时，，当时，，且 时,只有一个实数根，所以此时有1个极值点, 时,没有实数根，故有0个极值点, 当时，，有一个实数根，但不是极值点，故此时没有极值点， 时,有两个不相等的实数根，故有2个极值点. （2）由（1）知,,且在（0,1）单调递减,在单调递增, 先证:,即证:，即证:. 即证:. 令, 即证:, 令则 令,则,则在单调递减 , ,即在单调递减, ,证毕. 再证:, ,且 . 在单调递增,在单调递减,在单调递增, . 即证:, 又, 即证:. 令, . 令, , 令 , 令 令, , 在单调递减,在单调递增. , ,当时,单调递增;当时,单调递减. , 在单调递减,在单调递增. , 在单调递增,在单调递减. , , , 在单调递增, , 所以原命题得证. 【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 51．（2022春·陕西安康·高二统考期末）已知函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围； （2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论. 【详解】（1）∵， ，∴， 设 ，， 当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，与已知矛盾． 当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件； 综上，取值范围是． （2）证明：当时，，当，，当，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 不妨设，则，要证，只需证， ∵在区间上单调递增，∴只需证， ∵，∴只需证． 设，则， ∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立， ∴． 【点睛】方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有： （1）分离参数法：转化为函数最值问题； （2）直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论. 双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解. 52．（2022春·四川凉山·高二统考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：若，，则． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）先求定义域，再求导，分与求解函数的单调性； （2）由得到，即证，构造函数，，求导后得到在上单调递增， ∵，∴，从而证明出成立． （1） 由题意知：． 当时，当时，，在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 证明：∵，即， 又，∴要证，只需证， 即证 ① 设，，则， ∴在上单调递增， ∵，∴，不等式①成立，即成立． 【点睛】对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解. 53．（2022春·广东湛江·高二统考期末）已知函数（为的导函数）. (1)讨论单调性； (2)设是的两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令，讨论两种情况，利用导数得出单调性； （2）由极值点的定义得出，，，由分析法结合导数证明，从而得出. 【详解】（1）的定义域为. ，设，则 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，得；由，则； 即在上单调递增，在上单调递减 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）证明：，因为，是函数的两个极值点， 所以， 两式相减得， 欲证，只需证. ① 不妨设，故①变形为② 令，， 则在上单调递增，则 故②式成立，即要证不等式得证 【点睛】关键点睛：对于问题二，关键是将，取对数并利用极值点的定义得出，从而将为两个变量变为单变量，再由导数证明不等式. 考点八 利用导数解决实际问题 54．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元． 【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值． 【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ．． （2），令得或（舍． 当时，，当时，． 在，上单调递减，在，上单调递增． 当时，取得最小值（5）． 当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元． 55．（2022·江苏·高二期末）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可； （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案. 【详解】（1）由题意，当时，；当时，. 所以. （2）当时，，令，解得. 易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时， . 当时，， 当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 56．（2022春·上海闵行·高二校考期末）如图，用一张边长为3的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问： (1)求关于的函数关系式，并写出的范围； (2)在什么范围内变化时，容积随的增大而增大?随的增大而减小? (3)取何值时，容积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，容积随的增大而增大；当时，容积随的增大而减小； (3)当时，. 【分析】（1）根据题意和长方体体积公式直接得解;（2）求导后根据导数正负确定函数增减即可；（3）确定根据函数的单调性即可确定最值. 【详解】（1）. （2）， ， 当时，，容积随的增大而增大， 当时，，容积随的增大而减小； （3）当时，． 57．（2022春·北京西城·高二统考期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是． (1)把商品的利润表示为生产量x的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】(1)； (2)商品的利润最大时生产量为百件. 【分析】（1）利用求出利润函数即可； （2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量. （1） 由题意，利润. （2） 由（1），当时，， 所以，令，则或（舍）， 故，，即递增；，，即递减； 所以的极大值也是最大值为（万元）； 当时递减，此时最大值为（万元）. 综上，使商品的利润最大，产量为百件. x+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增10单调递增0单调递减0单调递增单调递减取值为正取值为负单调递增极大值单调递减取值为正取值为负单调递增极大值单调递减0极小值