人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结-直击高考考点归纳-讲义

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拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结 策略1 含参不等式恒成立问题的解题策略 在数学学习中，我们经常会遇到一类问题，那就是证明不等式恒成立或在不等式恒成立的条件下，求其中参数的取值范围。其问题的本质就是研究函数的变化情况，研究函数值的范围。导数作为研究函数单调性的有力武器，在这类问题中发挥了巨大的作用。 一、分离参数法 将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范围。 1.变量与参数的确定:谁的范围已知,将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母视为参数。 2.分离参数法遵循两点原则:①已知不等式中两个字母容易进行分离;②分离参数后,已知变量的函数解析式容易求出最值或 临界值。 3.一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需 即可。 二、函数最值法 将不等式转化为含某个待求参数的函数最值问题,先求该函数的最值,然后构建不等式求解。 注：1、对于恒成立，有两种理解方式，第一种是图像恒在图像上方，只需恒成立即可，可以通过构造函数求解；第二种是通过求解和的值域范围，观 察是否有，此方法称为最值比较法，但此种方法对和值域范围要求较高，因为，只是成立的充分条件而非必要条件，即时未必有成立，因而使用时需谨慎选择。 2、辨析型与型的差异: 1.对∀x∈I,不等式恒成立,可转化为求函数 2.对∀x∈I,不等式恒成立,可转化为求函数. 三、分离成两个函数，数形结合 把不等式分离成两个函数，再由函数图像关系及参数几何意义得出参数范围.分离出的两个函数必须一个是已知的，较为简单的函数，否则图像得不到.另一个带参数的函数也必须是已知的简单函数，参数的几何意义明显才比较容易由数形结合得出参数范围.而且作为解答题，数形结合可能比较难以论述清楚. 四、分类讨论、放缩取点法 通过求参数进行分类讨论，确定函数的单调性，进一步求出最值. 策略2 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 策略3 对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 考点一 不等式恒成立求参数范围 （一）分离参数法 1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，当时，若对任意的，都有恒成立求的取值范围. 【答案】 【分析】先分类讨论，当时求出的范围，当时参变分离，转化为求一个新函数的最值，利用导数即可求出新函数的最值，进而得出的取值范围. 【详解】当时， 由对任意的恒成立 当时，符合题意 当时，等价于 即恒成立 令， 令， 令得，即在单调递增 令得，即在单调递减 当时，取得最大值 令，，当时， 令，得，又在单调递减 当时， 当时， 即当时， 当时， 在上单调递增，在上单调递减 ，即的取值范围为 2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，若对任意的都有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意化简得到，考虑和两种情况，化简得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】时，恒成立，即恒成立， ，即恒成立. 当时，成立； 当时，，即恒成立， 设，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，故，故. 综上所述：， 3．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】将不等式参变分离得，再构造函数，则，结合导数求出，即可求解 【详解】当时，，，若对任意的，都有恒成立， 即对于恒成立， 分离参数可得，令， 则， 当时，，单增，当时，，单减，故在的最大值为，故 4．（2022秋·北京房山·高三北京市房山区良乡中学校考期中）已知函数在及时取得极值． (1)求的值； (2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求解导函数，可得的两根为和，再由韦达定理列方程组求解； （2）将条件转化为时，，根据导函数判断函数在上的单调性，从而求解出，从而可求解出答案. 【详解】（1），由题意， 的两根分别为和， 由韦达定理得，，解得 经检验，符合题意 所以 （2）对于任意的，都有成立， 只需当时，， 由（1）知，， 或，当时，或， 当时，， 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以函数的极大值为， 又， 所以函数在上的最大值为. 所以，即的取值范围为. 5．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，当时，若对任意的，且都有成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】原不等式变形得，构造，结合导数证明在恒成立即可，通过分离参数，再构造新函数即可求解 【详解】，可构造函数，则对任意的，且都有成立等价于在为增函数，即在恒成立， 当时，，， 即在恒成立，变形可得， 当，恒成立，令，则，单增，，，故； 当时，成立，； 当时，，由可得，当时，，单增，当，，单减，故，故， 要使在恒成立，则， 6．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论函数的单调区间和极值即可；（2）问题转化为，对于恒成立，构造函数，得，判断单调性，求得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是， 极小值为，无极大值. （2）因为对于任意，都有成立， 所以， 即问题转化为，对于恒成立， 即，对于恒成立， 令， 所以， 令， 所以， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以， 所以在区间上单调递增， 所以函数， 要使，对于恒成立，只要， 所以，即， 所以实数的取值范围为； 7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可； （2）由题知，恒成立，进而令，，再根据，当且仅当时等号成立得，进而得即可得答案． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，即时，在上恒成立，则在上单调递增， 当时，即时，令得， 所以当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）因为对，恒成立，即，恒成立， 所以，恒成立， 令，， 因为，， 设，则， 所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以方程在有解，即的等号能够取到； 所以， 所以要使，恒成立，则，即， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：小问（2）解题的关键在于借助，当且仅当时等号成立，放缩，进而得． （二）分类讨论、放缩取点法 8．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构造，从而恒成立等价于，分离参数后转化求最值即可求解. 【详解】因为，令 所以恒成立等价于. 当时，成立. 当时，令 当时，等价于，而在上恒成立， 所以. 当时，等价于， 而， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以， 所以. 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 9．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，当时，若都有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】令，求出及其导数，讨论的符号后可得的单调性，从而可求的取值范围. 【详解】，则都有. 又， 令，则， 当时，即在上 为减函数， 故， 当时，在上恒成立，故在上为增函数， 所以，故不等式成立. 当，则，因的图象不间断， 故存在，使得，使得， 故，在上为减函数，故，， 这与题设矛盾. 综上，. 10．（2021秋·河南许昌·高二统考期末）函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）在单调减，在单调增；（2）． 【分析】(1)当时，.分别令，，可求的单调区间. (2)求出，则时，可得 在增函数，满足题意，当 时，可得 在上为减函数，则 ，不满足题意，可得答案. 【详解】解：（1）时，，． 当时，；当时，． 故在单调减，在单调增加． （2）， 若，则当时，，为增函数， 而，从而当时，．满足题意. 若时，由，有，由，有， 所以时，为减函数， 而，从而当时，与题意不符合. 综合得的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题考查求函数的单调区间和根据不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是当时，由，得时，为减函数，可得，不满足条件，属于中档题. 11．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)若，求a，b； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题可得切线的斜率为1，切点坐标为，所以，，结合即可求得，的值； （2）令，问题转化为在上恒成立，则，对求导得，分、、、四种情况讨论，结合函数的单调性即可得答案. 【详解】（1）∵，∴，∴，即， ∵点在切线上，∴切点坐标为，即， ∴，∴， ∵，∴，. （2）由（1）可知，，∴. 设，则在上恒成立，∴， ，，， 当时，在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意； 当时，， 若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意； 若，则，在上恒成立，∴在上单调递增，∴，符合题意； 若，则，当时，，在上单调递减，此时，不合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 12．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意的，不等式 恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1），分和讨论即可； （2）首先讨论时不合题意，然后在时，由（1）得， 设，求导得到其单调性，结合，则，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时,恒成立,则在上单调递减. 当时,由,得,由,得, 则在上单调递减,在上单调递增， 综上,当时,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增； （2）当时,由（1）可知在上单调递减. 因为, 所以不符合题意. 当时,由（1）可知在上单调递减,在上单调递增, 则. 对任意的,不等式恒成立等价于. 设,则恒成立, 故在上单调递增. 因为,所以,解得. 综上,的取值范围是. （三）同构转化 13．（2023春·江苏宿迁·高二宿迁中学校考开学考试）若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先设函数，转化为，利用单调性得，参变分离后，转化为求函数的最小值，从而求得的取值范围. 【详解】设，则，所以在上单调递增， 由已知得， 因为，，， 所以， ，，所以在上单调递增，， 由在单调递增，得到， 所以，因为， 所以，令， 则，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数，不等式转化为，利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解. 14．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把转化为，先证明出恒成立，得到恒成立，从而得到，令，利用导数求出的最小值，即可得到a的最小值. 【详解】 记. 因为，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，即， 所以 . 等号成立的条件是，即有解. 令，则，解得：. 当时，，单减；当时，，单增.故，即a的最小值为 故选：C. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)利用导数研究恒（能）成立问题． 15．（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【答案】(1) (2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 16．（2023·江苏·高二专题练习）设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对恒成立，即，令，，对求导得出在单调递增，故，故，问题转化为. 【详解】对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故. 故选：B． 17．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解； （2）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证. 【详解】解：（1）当时，由已知得， 所以，令得， 即时，；时，； 故单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由得，所以在单调递减， 设从而对任意， 恒有， 即， 令，则等价于在单调递减， 即恒成立，从而恒成立， 故设， 则 ， 当时，为减函数， 时，，为增函数. ∴, ∴a的取值范围为. 【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证． 18．（2023·高二课时练习）已知函数，. (1)令，求的最小值； (2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出，进而得到的单调性，即可求解的最小值； （2）由条件可得在为单调递增函数，即，分离参数得到恒成立，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∵，∴， ∴由得，由得， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴. （2）因为对任意，且，有恒成立， 所以令，则在上为增函数， ∴， ∵， ∴，即， 所以. 19．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式； （2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由条件，可知函数的定义域为， 所以，， 可得，解得. （2）解：对、，，都有， 不妨设，由， 则，可得， 也即可得函数在区间上递增； 对任意的恒成立，即， 当时，，故，解得. 因此，实数的取值范围是. （四）最值比较法 20．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】可转化为在上，，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得解 【详解】，，使得成立等价于在上， ． 易得，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为， ∴，即实数的取值范围是． 故答案为： 21．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若对，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）. 【分析】(1)求出，令，解出不等式，即可得到函数的单调区间. （2）依题意有, 利用导数分别求出函数的单调区间，得出对应的最值，从而得出答案. 【详解】（1） 令，解得或，，解得 由上表知的递增区间为，，递减区间为. （2）依题意有， 由（1）知当时 而，在上为减函数， 所以当时 故的取值范围为. 考点二 已知参数范围，证明不等式恒成立 22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围； （2）先证明出，由（1）可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，证明出，可证得，进而可证得原不等式成立. 【详解】（1）解：，且该函数的定义域为，. ①当时，恒成立，在上单调递增， 因为，所以时不符合题意； ②当时，，显然成立； ③当时，由解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，，即， 所以，，解得. 综上所述，. （2）证明：由题意可知，函数的定义域为， 先证明，令， 则， 由（1）可知，所以，， 设，其中，则且不恒为零， 所以，在上为增函数，故当时，， 所以，， 因为，故，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 23．（2023·全国·高二专题练习）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）构造，利用导数的性质判断的单调性进行求解即可； （2）构造，利用导数的性质判断的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】（1）记． 则恒成立，即． 当，当， 在上单调递增，在上单调递减． ．解得． 实数的取值范围是； （2）记． 在上单调递增． 令， 则，所以即在上单调递增． 由，知． ．即， 当单调递减；当单调递增． ， 由（*）式，可得． 代入式，得． 由（1）知，当时有， 故．． 由． 故，即，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 24．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.） （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【分析】（1）求导得，再分参数当和两种情况具体讨论，结合导数正负与原函数关系判断即可； （2）解法不唯一，由原不等式可等价转化为，采用构造函数法，设，则，当时，，可设，求导判断可知，进而得出当时，；当时，；当时，， ∴，从而得证；还可采用合并参数形式得，令，讨论可判断，当时，显然成立；当且时，，要证对任意的，成立，只需证，可化为，令，通过讨论确定函数极值点进而得证；其余证法详见解析 【详解】（1）. ①当时，，函数在R上单调递增； ②当时，由解得，由解得. 故在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证法一：原不等式等价于 令，则. 当时，， 令，则当时，， ∴当时，单调递增，即， ∴当时，；当时，；当时，， ∴ 即，故. 证法二：原不等式等价于. 令，则. 当时，；当时，. ∴，即，当且仅当时等号成立. 当时，显然成立； 当且时，. 欲证对任意的，成立，只需证 思路1：∵，∴不等式可化为， 令，则， 易证当时，， ∴当时，，当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∴，即， 从而，对任意的，当时，. 思路2：令，则. ，或 ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∵， ∴，即. 从而，对任意的，当时，. 证法三：原不等式等价于. 令，则. 令，则，其中. ①当时，，在上单调递增. 注意到，故当时，；当时， ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴，即. ②当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②（i）：若，则. ∵ ∴当时，；当时，. 与①同，不等式成立. ②（ii）：若，则， ∵ ∴，使得，且当时，；当时，；当时，. ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∵ ∴此时，，即. 综上所述，结论得证 【点睛】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养.属于难题 考点三 证明恒成立 （一）函数最值法 25．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)证明：当时，不等式恒成立. 【答案】(1)在递增 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导数，通过构造函数，求导，判断的符号，从而可得答案； （2）先根据导数的单调性和零点，确定函数只有一个最小值点，利用虚设零点的方法可求的最小值大于1，从而得证. 【详解】（1）的定义域是， ， 令， 时，，，所以为增函数，； 故，在递增. （2）证明：由（1）得在上单调递增； ，， 故，，使得， 因为在上递增，所以是的唯一极小值点，也是最小值点， 从而，，， ，， 因为在，上递减， 所以， 即在恒成立； 故不等式恒成立. 【点睛】利用导数证明不等式的主要方法有：构造新函数函数，求解新函数的最值，也常利用二次导数或者虚设零点的方法来协助完成. 26．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若对任意，恒有不等式成立． （1）求实数a的值； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为，建立不等关系； （2）利用（1）的结论简化要证明的结论，再分段讨论即可. 【详解】解：（1），则 ． 当时，，在上单调递增，的值域为R，不符合题意； 当时，则，也不符合题意； 当时，有唯一解， 此时，则． 注意到，因此， 故只需． 令，上式即转化为． 设， 则，因此在单调递增，在上单调递减， 从而，所以． 因此，，所以， 从而由，所以； （2）注意到（1）已经证明：， 因此只需证明：． 当时，恒有，且等号不能同时成立； 当时，设， 则， 当时，是单调递增函数， 且， 因而时，恒有； 从而时，单调递减， 所以，即． 故． 【点睛】恒成立求参数问题一般方法：求导求最值分类讨论，构造函数建立等式或不等式从而解决问题. （二）分离成两个函数 27．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立. 【答案】证明见解析 【分析】设，，利用导数可得当时，成立，利用放缩法和导数可证在上，从而可证不等式成立. 【详解】由题设有，设，， 要证即证. 下面证明：当时，. 此时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在上，有，， 故当时，. 当，，， 当时，要证即证即证， 设，其中，故， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在上，， 故，所以当时，成立. 综上，任意的，都有恒成立. 28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，证明导数为单调增函数，然后分和两种情况判断导数的正负，从而判断函数的单调性，结合不等式恒成立，求得参数范围； （2）利用（1）的结论将要证明的不等式转化为证明，从而构造函数，利用导数判断函数单调性，结合函数值范围，进而证明原不等式成立. 【详解】（1）由题意知，， 令，则，则在上恒成立， 仅在时取等号， 所以在上单调递增，即在上单调递增． 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当时，． 令，则，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以． 所以，又在上单调递增， 所以，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是． （2）证明：由（1）得，当，时，，即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，即只需证， 设，则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 【点睛】难点点睛：第二问证明不等式成立时，要结合第一问的结论，得到，即，这是要结合所要证明的不等式的变形进行的合理变式，因此难点就在于要利用分析的方法，将原不等式转化为证明，即需证明，也就是证，然后可以构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题. 29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求证： (1)存在唯一零点； (2)不等式恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可. 【详解】（1），. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 所以，即. 所以在上单调递增，. 则在上，存在，使得，即存在唯一零点； （2）， 令，. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 即，故. 因为函数在上单调递增，所以. 即. 故不等式恒成立. 【点睛】关键点睛：在证明第二问时，关键是由导数证明，再利用函数的单调性证明，在做题时，要察觉到这一点. 考点四 能成立问题 30．（2023·江苏·高二专题练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确. 【详解】当时，题设不等式可化为有解， 令，则问题转化为有解， ， 令，则，所以在上单调递增， 又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得， 所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增； 所以，即在上存在使得，即有解， 即满足题意，故排除D. 由上述证明可得，即在上恒成立， 令，则，故在上单调递增； 所以当时，，即，故， 即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC； 当时，，即，故， 又，故，即至少有一解； 综上：，即选项A正确. 故选：A. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 31．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答. （2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答. 【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 32．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性. (2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 33．（2023·全国·高二专题练习）已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为. (3) 【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题. 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为,所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数. （2）因为,所以，所以， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为， 所以当时，函数有最大值为. （3）由得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 34．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值． （1）求函数； （2）存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）求导后，根据和，解得即可得解； （2）转化为，再利用导数求出函数在上的最大值，然后解不等式可得结果. 【详解】（1）∵， 由，得且，解得，， 又，∴， ∴； （2）存在，使得，等价于， ∵， 当时，，当时，， ∴在上递减，在上递增， 又，， ∴在上的最大值为， ∴，解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题. 考点五 恒成立与能成立的结合 35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最值的步骤，但要注意对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得， 所以函数在上没有最小值， ， 当时，当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此. 当时，令，， ， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，显然， 即， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示 当时，有两个根，不妨设， 当或时，； 当或时，； 所以在和上单调递减，在和上单调递增. 所以在与处都取得极小值，，不符合题意， 当时，，当且仅当，时取到等号， 当时，； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得最小值为，不符合题意， 综上所述，实数a的取值范围为 故选：D. 【点睛】解决本题的关键是将问题转化为求函数没有最小值，利用导数法求函数的最值步骤，但在研究与的大小关系时，借住函数的图象，得出对分和两种情况讨论即可求解. 36．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】理解题意，转化为最值问题求解 【详解】由题意得 ，时，故在上单调递增， ，时，时 故在上单调递增，在上单调递减， ，解得 故答案为： 37．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 即存在，使， 此时，， 所以， 因此将问题转化为 存在，使成立， 设，则， ， 当，，单调递增， 所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题. 38．（2022·全国·高二假期作业）已知函数 (1)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； (2)设函数，若，总有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，将其转化为曲线与直线在区间上恰有2个交点，通过求导判断单调性，再数形结合求解． （2）已知，总有成立，转化为，分别求与即可. 【详解】（1），， 由得， 由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点． ， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当值，取最小值，最小值为． ， 又， ∴． （2）由总有成立可知， 所以在给定区间上，． 由（2）知在区间上，， ∵， 当时，；当时，， ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，所以， ∴ ． 39．（2022秋·福建龙岩·高三期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求； (2)若对，存在，使得有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，根据切线与直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出； （2）问题转化为当时，，，对求导，对导函数因式分解，结合和的取值范围及导函数两零点的大小，对进行分类讨论，求出不同范围下的的最小值，在构造关于的函数，求导研究其单调性，极值，最值情况，从而求出的取值范围. 【详解】（1）, 则, 因为曲线在点处的切线与直线：垂直， 所以，解得：； （2），存在，使得有解， 等价于当时，，， ， 当时，，即在上单调递增， 所以，所以，即； 当时，，易得在上单调递增， 故，即，恒成立， 即，恒成立， 令，则在上单调递增， 所以当时，，所以； 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以此时，恒成立， ①当时，恒成立，此时， ②当时，，可转化为，， 设，，， 则，令，得， 当，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 即， ③当时，，可转化为，恒成立， 即，， 设，， ，， 则， 令，，令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，也是最小值， ，即， 又，所以， 综上：的取值范围是. 【点睛】导函数解决不等式恒成立或能成立问题，参变分离是一种很重要的方法，注意参变分离时，乘以或除以某一项正数时，不等号方向不改变，若是负数，则要不等号方向改变，再构造函数，求出其单调性，极值和最值情况，从而求出参数的取值范围. 40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，． (1)试讨论函数的极值； (2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据参数讨论导函数是否存在零点，分析极值点，得到极值； （2）问题转化为，根据（1）可以得出，的最值还需借助隐零点问题来解决. 【详解】（1）由题意得的定义域为，． 当时，在区间内恒成立， 在区间内单调递增，无极值． 当时，令，得；令，得． 在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值． （2）由知当时，的最大值为． 由题意得，且在区间内单调递增． 又，，根据零点存在定理可得， 存在，使得， 且当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， ． ，，两边取对数可得 ， ． 令，则当时，， 即函数在区间内单调递减，故， ，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即． 又，故的最大值为0．            增极大值减极小值增