人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-2用二分法求方程的近似解课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-2用二分法求方程的近似解课时学案，共15页。

4.5.2　用二分法求方程的近似解 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算) 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了． 问题：你知道他是如何做到的吗？ 知识点1　二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 若函数y＝f (x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ [提示]　不一定．二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f (x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)＜0． (2)求区间(a，b)的中点c． (3)计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f (a)f (c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f (c)f (b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　) (2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　二分法概念的理解 【例1】　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　D (2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　) A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6 (1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．故选ACD． (2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9．故选A．] 　运用二分法求函数的零点应具备的2个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． [跟进训练] 1．(多选)下列关于函数y＝f (x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是(　　) A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用 B．若x0是f (x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 AC　[结合二分法的原理可知AC正确．] 类型2　用二分法求方程的近似解 【例2】　用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)． 参考数据： [解]　令f (x)＝2x＋x－4， 则f (1)＝2＋1－4<0，f (2)＝22＋2－4>0． ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解可取为1.375． 　利用二分法求方程近似解的过程图示 [跟进训练] 2．(多选)用二分法求函数f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： 根据上述数据，可得f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A．0.625　　B．0.093 75　　C．0.125　　D．0.096 BCD　[已知f (0.093 75)<0，f (0.125)>0，则函数f (x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意．] 1．用二分法求函数y＝f (x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f (2)f (4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝2+42＝3，计算得f (2)f (x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　) A．(2，4) 　　B．(2，3)　　C．(3，4) 　　D．无法确定 [答案]　B 2．已知函数f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　) A．4，4　　B．3，4　　 C．5，4　　D．4，3 D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3．故选D．] 3．用二分法求函数f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 B　[据二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度ε时，便可结束计算．故选B．] 4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．(答案不唯一) 1.56　[f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)<0， 且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01， ∴区间(1.556 2，1.562 5)内的任意实数均是函数f (x)的零点，不妨取1.56．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？ [提示]　函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点． 2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？ [提示]　当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束． 3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ [提示]　精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同． 二分法在搜索中的应用 日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色． 下图中的15个数是按从小到大排列的． 如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？ 如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)． 如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示． 由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务． 计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！ 课时分层作业(三十九)　用二分法求方程的近似解 一、选择题 1．下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝12x－x D　[A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．] 2．用二分法求函数f (x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　) A．[－2，－1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[1，2] A　[∵f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，f (－2)·f (－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．故选A．] 3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝a+b2与真实零点的误差最大不超过(　　) A．ε4　　　B．ε2　　　C．ε　　　D．2ε B　[真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－a+b2＝a+b2－a＝b-a2<ε2，因此误差最大不超过ε2．] 4．若函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的一个正的零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　) A．1.25　　　B．1.375　　　C．1.42　　　D．1.5 C　[由表格可得，函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42．故选C．] 5．(多选)某同学用二分法求函数f (x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f (1.5)≈0.33，f (1.25)≈－0.87，f (1.375)≈－0.28，f (1.437 5)≈0.02，f (1.406 25)≈－0.13．下列说法正确的有(　　) A．f (x)的零点在区间(1.375，1.406 25)内 B．f (x)的零点在区间(1.25，1.437 5)内 C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5 BC　[易知f (x)是增函数，因为f (1.375)≈－0.28<0，f (1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.375，1.437 5)内，所以A错误；f (1.25)≈－0.87<0，f (1.437 5)≈0.02>0，所以零点在(1.25，1.437 5)内，B正确；又1.437 5和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选BC．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝x3－2x－2，f (1)·f (2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f (x0)＝________． －1.625　[由题意，x0＝1.5，f (x0)＝f (1.5)＝－1.625．] 7．在用二分法求方程f (x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1) 0.687 5(答案不唯一)　[∵f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0， ∴方程的解在区间(0.687 5，0.75)内，而|0.75－0.687 5|<0.1， ∴方程的一个近似解为0.687 5．] 8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次． 6　[第1次取中点把焊接点数减半为642＝32，第2次取中点把焊接点数减半为322＝16，第3次取中点把焊接点数减半为162＝8，第4次取中点把焊接点数减半为82＝4，第5次取中点把焊接点数减半为42＝2，第6次取中点把焊接点数减半为22＝1，所以至多需要检测的次数是6．] 三、解答题 9．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论． 设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值，f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________． 所以f (x)在区间________内存在零点x0．填表： [解]　将x＝0，1，2，3分别代入f (x)的解析式中，则f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31， f (x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为 因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， 所以原方程的近似解可取1.187 5． 10．(多选)若函数f (x)的图象是连续的，且函数f (x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，1，32，54，32内，则与f (0)符号不同的是(　　) A．f (4) B．f (2) C．f (1) D．f 32 ABD　[由二分法的步骤可知， ①零点在(0，4)内，则有f (0)·f (4)<0，不妨设f (0)>0，f (4)<0，取中点2； ②零点在(0，2)内，则有f (0)·f (2)<0，则f (0)>0，f (2)<0，取中点1； ③零点在(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，则f (1)>0，f (2)<0，取中点32； ④零点在1，32内，则有f (1)·f 32<0，则f (1)>0，f 32<0，则取中点54； ⑤零点在54，32内，则有f 54·f 32<0，则f 54>0，f 32<0， 所以与f (0)符号不同的是f (4)，f (2)，f 32． 故选ABD．] 11．已知函数f (x)＝ln (x＋2)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表： 由二分法，可知方程ln (x＋2)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是(　　) A．0.625 B．－0.009 C．0.562 5 D．0.066 C　[设近似根为x0，函数f (x)＝ln (x＋2)＋2x－m在区间(－2，＋∞)上单调递增， 因为f (0.531 25)<0，f (0.562 5)>0，所以x0∈(0.531 25，0.562 5)，因为0.562 5－0.531 25＝0.031 25<0.05，所以方程的近似解可取为0.562 5，故选C．] 12．在用“二分法”求函数f (x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，1] C．－2，52 D．－12，1 D　[∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为－2，－12，－12，1， 1，52，52，4．故选D．] 13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x)＝lg x＋x－2，算得f (1)<0，f (2)>0．在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是1.8，那么他又取的x的4个值依次是________． 1.5，1.75，1.875，1.812 5　[第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．所以又取的4个x的值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5．] 14．已知方程2x＋2x＝5． (1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1)． 参考数值： [解]　(1)令f (x)＝2x＋2x－5． 因为函数f (x)＝2x＋2x－5在R上是增函数， 所以函数f (x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．即该方程最多有一解． 因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0， f (2)＝22＋2×2－5＝3>0， 所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下： 因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数的零点近似值为1.312 5， 即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5． 15．已知函数f (x)＝x． (1)判断函数f (x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f (x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由． (参考数据：1.25≈1.118，1.5≈1.225，1.75≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)． [解]　(1)函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数， 理由如下：令0≤x10， ∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点， ∵g(1.5)＝1.5＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，g(1.75)＝1.75＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， ∴函数的零点在(1.5，1.75)内， ∵1.75－1.5＝0.25<0.3， ∴g(x)零点的近似值为1.5． (函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以) x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67区间区间中点值xnf (xn)的值及符号(1，2)x1＝1.5f (x1)＝0.33>0(1，1.5)x2＝1.25f (x2)＝－0.37<0(1.25，1.5)x3＝1.375f (x3)＝－0.035<0(1.375，1.5)x0.062 50.093 750.1250.156 250.187 5f (x)－0.456 7－0.180 90.097 80.379 70.664 7x1.600 01.587 51.575 01.562 51.556 21.550 0f (x)的 近似值0.2000.1330.0670.003－0.029－0.060258111216232729355153697577f (1)＝－2f (1.5)＝0.625f (1.25)≈－0.984f (1.375)≈－0.260f (1.437 5)≈0.162f (1.406 25)≈－0.054区间中点mf (m)的符号区间长度区间中点mf (m)的符号区间长度(1，2)1.5＋1(1，1.5)1.25＋0.5(1，1.25)1.125－0.25(1.125，1.25)1.187 5＋0.125(1.125，1.187 5)1.156 25＋0.062 5x00.50.531 250.562 50.6250.751f (x)－1.307－0.084－0.0090.0660.2150.5121.099x1.187 51.1251.251.312 51.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.83区间中点的值中点函数值符号(1，2)1.5f (1.5)>0(1，1.5)1.25f (1.25)<0(1.25，1.5)1.375f (1.375)>0(1.25，1.375)1.312 5f (1.312 5)>0(1.25，1.312 5)