人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案，共9页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．化简eq \f(\r(－x3),x)的结果为( )
A．－eq \r(－x) B.eq \r(x) C．－eq \r(x) D.eq \r(－x)
答案 A
解析 要使式子有意义，只需－x3>0，x≠0，即x<0，
所以eq \f(\r(－x3),x)＝eq \f(－x\r(－x),x)＝－eq \r(－x).
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由x2－x>0，得x>1或x<0.
3．已知lg2m＝2.019，lg2n＝1.019，则eq \f(n,m)等于( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C．10 D.eq \f(1,10)
答案 B
解析 因为lg2m＝2.019，lg2n＝1.019，
所以m＝22.019，n＝21.019，所以eq \f(n,m)＝eq \f(21.019,22.019)＝eq \f(1,2).
4．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题意得x－1≥0，x≥1，令t＝eq \r(x－1)，则t≥0，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t是减函数，
∴05．已知a＝，b＝lg23，c＝2－0.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 D
解析 因为a＝<＝0，b＝lg23>lg22＝1，
0所以b>c>a.
6．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝lga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( )
答案 A
解析 由题意，当a>0，函数f(x)＝2－ax为单调递减函数，若02，且函数g(x)＝lga(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x0＝eq \f(2,a)<2，且函数g(x)＝lga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，,－lg2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )
A．－eq \f(7,4) B．－eq \f(5,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4)
答案 A
解析 若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3,2a－1＝－1(无解)；若a>1，f(a)＝－lg2(a＋1)＝－3，解得a＝7.
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝eq \f(1,4)－2＝－eq \f(7,4).
8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(lg0.53)，b＝f(lg25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．a答案 B
解析 由f(x)为偶函数得m＝0，
所以a＝f(lg0.53)＝－1＝－1＝2.
b＝f(lg25)＝－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，
所以c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x3＋x B．y＝lg2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
答案 AD
解析 A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；
B中，y＝lg2x为非奇非偶函数，与题意不符；
C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．
10．已知函数f(x)＝ax－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x，其中a>0且a≠1，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)在其定义域上有零点
C．函数f(x)的图象过定点(0,1)
D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上为增函数
答案 ABD
解析 f(x)＝ax－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＝ax－a－x，定义域为R，
f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，
且f(0)＝0，故选项A，B正确，选项C错误；
a>1,011．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是( )
A．若f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)>0，则其在(a，b)内没有零点
B．若f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有零点
C．若f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有零点
D．若f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又f(a)·f(b)<0成立，则其在(a，b)内有且只有一个零点
答案 CD
解析 对于A中，函数y＝x2，满足f(－1)·f(1)>0，在(－1,1)内有零点，故A不正确；
对于B中，若f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)＝－1，f(b)＝1，且在(a，b)上f(x)>0恒成立，此时满足f(a)·f(b)<0，但是其在(a，b)内没有零点，故B不正确；
对于C中，若f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，根据函数零点存在定理，可得在(a，b)内有零点，故C是正确的；
对于D中，若f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又f(a)·f(b)<0成立，根据函数零点存在定理，在(a，b)内有且只有一个零点，故D是正确的．
12．下列命题中正确的是( )
A．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x2在区间(0,1)上有且只有1个零点
B．若函数f(x)＝x2＋ax＋b，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))≤eq \f(fx1＋fx2,2)
C．如果函数y＝x＋eq \f(1,x)在[a，b]上单调递增，那么它在[－b，－a]上单调递减
D．若定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数y＝f(x＋a)－b为奇函数
答案 ABD
解析 对于A选项，函数y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在区间(0,1)上单调递减，函数y2＝x2在区间(0,1)上单调递增，所以，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x2在区间(0,1)上单调递减，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0－02>0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－12<0，所以，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x2在区间(0,1)上有且只有1个零点，A选项正确；
对于B选项，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))－eq \f(fx1＋fx2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))2＋eq \f(ax1＋x2,2)＋b－eq \f(x\\al(2,1)＋ax1＋b＋x\\al(2,2)＋ax2＋b,2)＝eq \f(x1＋x22－2x\\al(2,1)＋x\\al(2,2),4)＝eq \f(2x1x2－x\\al(2,1)－x\\al(2,2),4)＝－eq \f(x1－x22,4)≤0，B选项正确；
对于C选项，令f(x)＝x＋eq \f(1,x)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且f(－x)＝－x＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数，
由于该函数在区间[a，b]上单调递增，则该函数在区间[－b，－a]上也单调递增，C选项错误；
对于D选项，由于函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，
令g(x)＝f(x＋a)－b，定义域为R，且g(－x)＋g(x)＝f(－x＋a)－b＋f(x＋a)－b＝2b－2b＝0，即g(－x)＝－g(x)，
所以，函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，D选项正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝ax－1＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则P点的坐标是________．
答案 (1,4)
解析 由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作是由y＝ax的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，则P点坐标为(1,4)．
14．若指数函数f(x)＝ax(a>1)在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为10，则a的值为________．
答案 3
解析 因为当a>1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，
则在区间[0,2]上，f(x)max＝a2，f(x)min＝a0＝1，
又指数函数f(x)＝ax(a>1)在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为10，
则a2＋1＝10，即a2＝9，又a>1，即a＝3.
15．已知[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.5]＝1，[3]＝3.若f(x)＝2x，g(x)＝f(x－[x])，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________，函数g(x)的值域为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 eq \r(2) [1,2)
解析 geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(2)，
令t＝x－[x]∈[0,1)，g(x)＝f(x－[x])＝f(t)＝2t，
1≤2t<2，g(x)的值域为[1,2)．
16．已知函数f(x)＝ln x2－，则满足不等式>1的x的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪(3，＋∞)
解析 函数f(x)＝ln x2－的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝ln(－x)2－＝ln x2－＝f(x)，该函数为偶函数，
因为函数y1＝ln x2在区间(0，＋∞)上单调递增，
函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以，函数f(x)＝ln x2－在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝1，
若 >1，即>f(1)，
即>f(1)，可得>1，
可得>1或<－1，
解得03.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算：
(1)eq \f(1,\r(2)－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))－0.5＋eq \r(4,\r(2)－e4)；
(2)lg 500＋lgeq \f(8,5)－eq \f(1,2)lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原式＝eq \r(2)＋1－1＋eq \f(2,3)＋e－eq \r(2)＝eq \f(2,3)＋e.
(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－eq \f(1,2)lg 26＋50×(lg 10)2
＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
18．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围．
解 函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.
结合图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－22－45－m>0，,\f(2－m,2)>2，,4＋2m－2＋5－m>0，))
解得－5故实数m的取值范围是(－5，－4)．
19．(12分)已知函数f(x)＝lg2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图象上的点时，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)，\f(y,2)))是函数g(x)图象上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解 (1)令x′＝eq \f(x,3)，y′＝eq \f(y,2)，则x＝3x′，y＝2y′，
把x＝3x′，y＝2y′代入f(x)＝lg2(x＋1)，
得y′＝eq \f(1,2)lg2(3x′＋1)，
∴g(x)＝eq \f(1,2)lg2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，
即lg2(3x＋1)－lg2(x＋1)≥0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,x＋1>0，,3x＋1≥x＋1，))解得x≥0，
故x的取值范围为[0，＋∞)．
20．(12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(3,2))).
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
解 (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以g(x)＝lgax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(3,2)))，
所以lga2eq \r(2)＝eq \f(3,2)，所以＝2eq \r(2)，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝lg2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝lg20.2<0，
又g(1.5)＝lg21.5且g(1.5)＝lg21.5>lg21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．
21．(12分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－m.测得部分数据如表：
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．
解 (1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，
可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由x＝0，y＝－4可得c＝－4，由x＝2，y＝8，
得4a＋2b＝12， ①
由x＝6，y＝8，可得36a＋6b＝12，②
联立①②解得a＝－1，b＝8，即有y＝－x2＋8x－4；
当x≥7时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－m，
由x＝10，y＝eq \f(1,9)，可得m＝8，即有y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－8.
综上可得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋8x－4，0≤x<7，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－8，x≥7.))
(2)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
即有x＝4时，取得最大值12；
当x≥7时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－8递减，可得y≤3，
当x＝7时，取得最大值3.
综上可得当x＝4时产品的性能达到最佳．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(b－2x,2x＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
(1)解 因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)证明 任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝ .
因为x10.
又因为(＋1)(＋1)>0，
所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的减函数．
(3)解 因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t)因为f(x)为R上的减函数，
所以t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立，
而3t2－2t＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,3)))2－eq \f(1,3)≥－eq \f(1,3).
所以k<－eq \f(1,3).x(单位：克)
0
2
6
10
…
y
－4
8
8
eq \f(1,9)
…