人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-1任意角课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-1任意角课时学案，共17页。

5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象) 在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一圈，也可以旋转多圈．为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广． 知识点1　角的概念与分类 (1)角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的分类 知识点2　角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β． (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点3　象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点4　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ [提示]　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)－30°是第四象限角． (　　) (2)第二象限角是钝角． (　　) (3)225°是第三象限角． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________． 图(1)　　　　　　　　　图(2) [答案]　390°　－150°　60° 3．如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________． 图(1)　　　　　　图(2) [答案]　110°　－70° 类型1　任意角的概念 【例1】　(1)下列结论： ①始边相同而终边不同的角一定不相等； ②小于90°的角是第一象限角； ③钝角比第三象限角小； ④角α与－α的终边关于x轴对称． 其中正确的结论为________(填序号)． (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________． (1)①④　(2)－40°　[(1)①正确；②错误，如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确． (2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．] 　理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． [跟进训练] 1．经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　) A．60°　　　B．－60°　　　C．30°　　　D．－30° B　[钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－360°12＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°．故选B．] 类型2　终边相同的角的表示及应用 　求与已知角终边相同的角 【例2】　(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来． (1)60°；(2)－21°． [解]　(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－16≤k<2－16，所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°≤β<720°的元素是 60°＋(－1)×360°＝－300°， 60°＋0×360°＝60°， 60°＋1×360°＝420°． (2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得－1＋21360≤k<2＋21360， 所以k可取0，1或2． 因此S中满足－360°≤β<720°的元素是 －21°＋0×360°＝－21°， －21°＋1×360°＝339°， －21°＋2×360°＝699°． 　求终边在给定直线上的角的集合 【例3】　在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________． 120°，300°　[与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z． ∵所求角在0°～360°范围内， ∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z， 解得13≤k≤73，k∈Z，∴k＝1或2． 当k＝1时，β＝120°； 当k＝2时，β＝300°．] 　终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [跟进训练] 2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． [解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}． (1)最小的正角为315°． (2)最大的负角为－45°． (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°． 类型3　象限角及区域角的表示 　象限角的表示 【例4】　若α是第一象限角，则－α2是(　　) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以k·180°＜α2＜k·180°＋45°，k∈Z， 所以－k·180°－45°<－α2<－k·180°，k∈Z， 所以－α2是第二、四象限角．故选D．] 　区域角的表示 【例5】　如图所示． (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 思路导引：确定边界角直观想象 逆时针方向看角 确定区域角 [解]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [母题探究] 若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？ [解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 　 1．表示区间角的3个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α