数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试教学设计

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试教学设计，共14页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。
3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。
4．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1)。
【要点梳理】
知识点一、指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
知识点二、指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数函数性质：
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：.
2.几个重要的对数恒等式
，，.
3.常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).
4.对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.
对数函数性质：
知识点五：反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
知识点六：幂函数
1.幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.
(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.
(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1.化简与计算下列各式
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）100；(3)．
【解析】
(1)原式=
=1+=；
(2)原式=
=
=100
(3) 原式=
.
【变式一】化简下列各式：
(1)； (2).
【答案】（1）-27；（2）．
【解析】(1)
；
(2)

例2.（1）化简：；
（2）计算：
（3）已知：，求：的值.
【解析】（1）原式=
；
（2）原式=
（3）

∴ 当时，.
【变式】已知，求的值。
【解析】∵， ∴，
∴， ∴，
∴， ∴，
又∵，
∴
例3.计算
（1）；（2）；
（3）
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例4.已知函数则( )
A.4 B. C.-4 D.-
【答案】B
【解析】，.
【变式一】已知函数若，则实数等于（ ）．
A. B. C. 2 D. 9
【答案】．
【解析】，由，则有． ，，选．
例5.函数的定义域( ) ．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
例6.设函数 若，则实数的取值范围是( ) ．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解法一：①若，则，
，得，得，解得。
②若则，
，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证 令
，满足，故排除A、D。
令，， 不满足，故排除B。
例7．函数的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D。
例8．已知函数y=()|x+1|。
作出图象；
由图象指出其单调区间；
由图象指出当x取什么值时函数有最值。
【解析】（1）图象作法一：由已知可得
其图象由两部分组成：
一部分是：
另一部分是：
图象如图：
图象作法二：先作函数的图象，再作函数图象。
作法：将函数图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图象（上图中虚线），再将函数图象向左平移1个单位得到函数图象。
（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。
（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。
例9. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0【思路点拨】对进行讨论，去掉绝对值，画出图象；或根据函数图象变换规律画出函数图象。
【答案】B.
【解析】，
画图象可知-1≤m<0.
【变式1】 函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）。
A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）
【答案】C
【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C.
类型三：综合问题
例10.已知函数为常数)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.
(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.
【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性
【答案】（1）；（2）f(x)为增函数；（3）a＞1．
【解析】(1)由
∵a＞0，x≥0

∴f(x)的定义域是.
(2)若a=2，则
设 ， 则
故f(x)为增函数.
(3)设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞).
【变式1】已知．
（1）求定义域；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）解方程．
【答案】（1）当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，函数在上单增；当时，函数在上单增．
（3）．
【解析】（1）由，得，
当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，设，则
，
当时，函数在上增函数；同理可证，当时，函数在上也是增函数．
（3）由，得，推出，所以，
，，，
，（舍），．
例11．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了。
【答案】
【解析】依题意，在上恒成立。
则设
只需求的最大值
任取且
=
由于是单调递减函数
，即在上是单调递增的，
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.