还剩14页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套人教A版高中数学必修第一册课时学案
成套系列资料，整套一键下载
人教A版高中数学必修第一册第4章4-4-3不同函数增长的差异课时学案
展开
这是一份人教A版高中数学必修第一册第4章4-4-3不同函数增长的差异课时学案，共17页。
4.4.3 不同函数增长的差异 1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象) 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模) 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年能固定攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ A．5年 B．7年 C．8年 D．9年 E．永远买不起 房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？ 知识点 三种函数模型的增长差异 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当x每增加一个单位长度时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． ( ) (2)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．( ) (3)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．故选A．
(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟进训练]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
B [D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
类型2 函数增长速度的比较
【例2】 (1)(多选)如图，能使得不等式log2x2 B．x>4
C．0f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)f (x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)f (x)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f 32与g32，f (2 024)与g(2 024)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f (x)＝2x．
(2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f (x)＜g(x)，
∴f 32＜g32；
当x＞2时，f (x)＞g(x)，∴f (2 024)＞g(2 024)．
类型3 函数模型的选择
【例3】 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
思路导引：分别画出三个函数的图象 直观想象 作出判断
[解] 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[跟进训练]
3．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据关系如下表：
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：
Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，
Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
[解] (1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；
若选择第二种模型，代入(40，5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，
∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此时Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；
经观察﹐第三种函数模型最符合实际，
代入(40，5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，
此时，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合题意，
∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v．
(2)设总耗油量为W，
∵W＝100v×Q＝0.002 5v2－0.4v＋25
＝0.002 5(v－80)2＋9，40≤v≤120，
当v＝80时，W取得最小值为9，
∴这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少．
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．故选A．]
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
A [随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．]
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
其中关于x呈指数增长的变量是________．
y2 [由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]
4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示] 直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？
1.01365≈37.780.99365≈0.03积跬步以至千里积怠惰以至深渊 1.02365≈1 377.411.01365≈37.78 多百分之一的努力 得千份收获
1.01219×0.98146≈0.46三天打鱼两天晒网 终将一无所获 0.9550≈0.08 如果每次失败的概率是95% 连续失败50次的概率不到8%
课时分层作业(三十七) 不同函数增长的差异
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
D [对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意．]
2．下面对函数f (x)＝log12x，g(x)＝12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
C [观察函数f (x)＝log12x，g(x)＝12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f (x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．故选C．]
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)
C．y＝2x10 D．y＝0.2＋log16x
C [用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．故选C．]
4．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表：
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．]
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 B．f 2(x)＝4x
C．f 3(x)＝log2x D．f 4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x)＝2x．故选D．]
二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ ．
y＝x2 [当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比x ln x增长的要快．]
7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg (x－1)；④y＝50．
① [结合几类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．]
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
A B C D
(1) (2) (3) (4)
(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快－慢－快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
三、解答题
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%．
哪个方案较好？
[解] 方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
A B C D
A [分别画出y＝2x，y＝x2的图象(图略)，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D．故选A．]
11．当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A．(2，2) B．(1，2)
C．22，1 D．0，22
C [当x>0时，函数y＝4x的图象如图所示，若当0＜x≤12时，不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于12，2点时，a＝22，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1，故选C．
]
12．(多选)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是( )
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2019年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2020年
D．虽然2021年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善
ABD [由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2019～2020年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2020～2021年最平缓，故C不正确；2021年“生活价格指数”略呈下降趋势，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．故选ABD．]
13．某商场2022年1月份到12月份销售额呈先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f (x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f (x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f (x)＝x2＋px＋q．
(1)能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；
(2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x)＝________．
(1)③ (2)x2－8x＋17 [(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为③．
(2)由f (1)＝10，f (3)＝2，得
1+p+q＝10，9+3p+q＝2，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f (x)＝x2－8x＋17．]
14．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少．
[解] (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，
故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2；
x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得2＝a+b， 5＝16a+4b，
解得a＝-14，b＝94， 所以函数的解析式为y＝－14x2＋94x(x∈[0.5，8])．
因为y＝－14x2＋94x＝－14x-922＋8116，
所以当x＝92时，年人均A饮料的销售量最多，最多是8116 L．
15．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25～1 600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即设奖励方案函数模型为y＝f (x)时，公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1 600]时，①f (x)是增函数；②f (x)≤75恒成立；③f (x)≤x5恒成立)．
(1)判断函数f (x)＝x30＋10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数g(x)＝ax－5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
[解] (1)不符合，理由：对于函数模型f (x)＝x30＋10，
当x∈[25，1 600]时，f (x)是增函数，则f (x)≤f (1 600)≤75，显然恒成立，若f (x)≤x5，即x30＋10≤x5，解得x≥60．
∴当x∈[25，1 600]时，f (x)≤x5不恒成立．
综上所述，函数模型f (x)＝x30＋10满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f (x)＝x30＋10不符合要求．
(2)当x∈[25，1 600]时，g(x)＝ax－5(a≥1)单调递增，
∴最大值g(1 600)＝a1 600－5＝40a－5≤75，
∴1≤a≤2．
设g(x)＝ax－5≤x5恒成立，
则a2x≤5+x52恒成立，即a2≤25x＋2＋x25．
∵25x＋x25≥2，当且仅当x＝25时取等号，∴a2≤2＋2＝4．
∵a≥1，∴1≤a≤2，
故实数a的取值范围为[1，2]．
函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)
上的增减性增函数增函数增函数图象的变化
趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢增长结果存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logaxx1357911y151356251 7153 6356 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.207.40v406090100120Q5.268.3251015.6x45678910y15171921232527x051015202530y151305051 1302 0053 1304 505y25901 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00
4.4.3 不同函数增长的差异 1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象) 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模) 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年能固定攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ A．5年 B．7年 C．8年 D．9年 E．永远买不起 房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？ 知识点 三种函数模型的增长差异 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当x每增加一个单位长度时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． ( ) (2)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．( ) (3)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax
相关资料
更多
