人教A版高中数学必修第一册第2章2-3第1课时一元二次不等式的解法课时学案

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2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象) 已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0． 问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)一元二次方程的根是什么？ (3)问题(1)中的交点横坐标与问题(2)中的根有何内在联系？ (4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？ (5)能否利用问题(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？ 知识点1　一元二次不等式的概念 知识点2　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？ [提示]　不是．是图象与x轴交点的横坐标． 知识点3　从函数观点看一元二次不等式 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． (　　) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示． (1)若y>0，则x满足的条件是________； (2)若y≤0，则x满足的条件是________． [答案]　(1)x<0或x>5　(2)0≤x≤5 3．不等式x2＋3x＋6<0的解集为________． ∅　[∵Δ＝9－4×6＝－15<0， ∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为∅．] 类型1　一元二次不等式的求解 【例1】　(源自苏教版教材)解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0； (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1<0； (4)x2－2x＋2>0． [解]　(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4． 根据y＝x2－7x＋12的图象(图(1))，可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}． (2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0． 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1． 根据y＝x2＋2x－3的图象(图(2))，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． (1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4) (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1． 根据y＝x2－2x＋1的图象(图(3))，可得原不等式的解集为∅． (4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图(4))，可得原不等式的解集为R． 　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． [跟进训练] 1．解下列不等式： (1)4x2－20x<－25； (2)(x－3)(x－7)<0； (3)－3x2＋5x－4<0； (4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1． [解]　(1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅． (2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|30，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R． (4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0． 因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是13，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是x13≤x≤1． 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 　对判别式Δ进行讨论 【例2】　解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0． [解]　Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－40，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1． (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为 x1＝14(－a－a2-16)，x2＝14(－a＋a2-16)． 此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴xx2． 综上，当－44或a<－4时，原不等式的解集为 xx<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16)； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． 　对根的大小进行讨论 【例3】　解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a∈R)． [解]　原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0． 讨论a与1的大小． (1)a＞1时，不等式的解为1＜x＜a； (2)a＝1时，不等式的解集为空集； (3)a＜1时，不等式的解为a＜x＜1． 综上可知，a＞1时解集是{x|1＜x＜a}；a＝1时，解集为∅；a＜1时解集为{x|a＜x＜1}． 　对二次项系数进行讨论 【例4】　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0． [解]　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}． (2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1a． ①当a<－12时，解不等式得－1a0时，解不等式得x<－1a或x>2， 即原不等式的解集为xx<-1a或x>2． 　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． [跟进训练] 2．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． [解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1． 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0． 当a<0时，不等式可化为x-1a(x－1)>0， ∵1a<1，∴x<1a或x>1． 当a>0时，原不等式可化为x-1a(x－1)<0． 若1a<1，即a>1，则1a1，即01；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为x1a0的解集为{x|20 的解集为x20的解集为{x|20，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为xx＜13，或x＞12． 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集． [解]　由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a<0． ∴c<0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－bcx＋ac<0，即x2＋56x＋16<0， 解得－120的解集． [解]　因为x2＋px＋q<0的解集为x-120即为－16x2＋16x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－20的解集为{x|－20；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④xx2-3>0．其中一元二次不等式的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 A　[只有③是一元二次不等式，故选A．] 2．(2022·广东广州期末)不等式3x2－x－2≥0的解集是(　　) A．{x|-23≤x≤1} B．x-1≤x≤23 C．{x|x≤-23或x≥1} D．xx≤-1或x≥23 C　[3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)≥0， 解得x≤－23或x≥1．故选C．] 3．(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是(　　) A．b＋c＝－1 B．方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1 C．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1} D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1} ABD　[方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－1，即b＝1，c＝(－2)×1＝－2，所以b＋c＝－1．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，所以选项A，B，D正确．故选ABD．] 4．若01>m， 故原不等式的解集为xm0，a<0，a＝0． (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1－1} B．{x|x<1 或x>2} C．{x|10，即(x－1)(x－2)>0，解得{x|x<1或x>2}．故选B．] 2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2} C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} C　[N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，又M＝{x|－4＜x＜2}，所以M∩N＝{x|－2＜x＜2}．] 3．(2022·山东淄博市临淄中学月考)下列不等式的解集是空集的是(　　) A．x2－x＋1>0 B．－2x2＋x＋1>0 C．2x－x2>5 D．x2>2 C　[对于A，Δ<0，所以不等式的解集是R，故A错误； 对于B，由－2x2＋x＋1>0，可得不等式解集为{x|-222，可得不等式的解集为{x|x<－2 或x>2}，故D错误．故选C．] 4．若01t或xt D．xt1>t， 则不等式x2－t+1tx＋1<0的解集是xt3}，则下列结论正确的是(　　) A．a<0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|-133}，所以不等式对应的二次函数开口向下，所以a<0，A正确；且－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－1＋3＝－ba，－1×3＝ca，即b＝－2a，c＝－3a>0，B错误； a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，C正确；cx2－bx＋a<0即为－3ax2＋2ax＋a<0，不等式两边同除以－a得：3x2－2x－1<0，解得－130的解集是________． {x|x<－2，或x>3}　[根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图． 由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2，或x>3}．] 三、解答题 9．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为x130的解集为{x|－20)的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1＋x2＋3ax1x2的最小值是(　　) A．4　　　B．26　　　C．2　　　D．263 B　[因为关于x的不等式－x2＋6ax－3a2≥0(a>0)的解集为{x|x1≤x≤x2}，所以x1＋x2＝6a，x1x2＝3a2，则x1＋x2＋3ax1x2＝6a＋1a≥26a·1a＝26，当且仅当6a＝1a，即a＝66时，等号成立，所以x1＋x2＋3ax1x2的最小值是26．故选B．] 12．(多选)(2022·浙江台州市书生中学月考)已知关于x的不等式a≤34x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a0时，－1－a≤x≤－1＋a； (2)当－1－a＝－1＋a， 即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； (3)当－1－a>－1＋a， 即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a． 综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}． 15．(2022·山东烟台二中月考)解关于x的不等式ax2－(a＋3)x＋3<0． [解]　不等式ax2－(a＋3)x＋3<0，变形为(ax－3)(x－1)<0， ①当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； ②当a<0时，不等式的解集为xx<3a或x>1； ③当a>0时， 若01，不等式的解集为x13时，0<3a<1，不等式的解集为x3a1}； 当a<0时，不等式的解集为xx<3a或x>1； 当03时，不等式的解集为x3a0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数Δ的值Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}x_x≠-_b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1