人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-1第1课时函数的概念(一)课时学案

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3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(数学运算) 　　如果将2005年某国创新指数记为100，近些年来该国创新指数的情况如下表所示． 　　以y表示年度值，i表示该国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ 知识点　函数的概念 理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)” “y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调 “三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)定义域、值域的结果应该写成集合的形式． 1．在函数的定义中，符号y＝f (x)是表示f 与x的乘积吗？ [提示]　y＝f (x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f 与x的乘积”． 2．f (x)与f (a)的区别与联系是什么？ [提示]　f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．f (a)是f (x)的一个特殊值． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． (　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　函数关系的判断 【例1】　(1)(2022·四川省德阳市第三中学月考)设集合 M＝x0≤x≤2，N＝y0≤y≤2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A．f ：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1 C．h：把x对应到1x D．r：把x对应到x (1)A　(2)AB　[(1)对图①，由图知：0≤x≤1，不符合函数的定义域，故图①错误； 对图②，由图知：0≤x≤2，0≤y≤2，图象符合函数的定义，故图②正确； 对图③，由图知：0≤y≤3，不符合函数的值域，故图③错误；对图④，不符合函数定义，不是函数图象，故图④错误．故选A． (2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．] 　判断一个对应关系是否为函数的方法 [跟进训练] 1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N*，对应法则f ：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，对应法则f ：对A中的元素开方与B中的元素对应； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f ：对A中元素求面积与B中元素对应． [解]　(1)对于A中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f 的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系． (4)集合A不是数集，故不是函数． 类型2　求函数值 【例2】　(源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式： (1)f (2)＋g(3)； (2)f (a2)－g(a)； (3)f (f (f (0)))． [解]　(1)f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12； (2)f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1； (3)因为f (0)＝0＋1＝1， 所以f (f (0))＝f (1)＝1＋1＝2， 从而f (f (f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3． 　函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝3-x21+x2，g(x)＝1x． (1)求f (3)，f (4)，f (g(3))； (2)求f (g(x))． [解]　(1)f (3)＝3-321+32＝－35，f (4)＝3-421+42＝－1317， f (g(3))＝f 13＝3-1321+132＝135． (2)因为f (x)＝3-x21+x2，g(x)＝1x， 所以f (g(x))＝f 1x＝3-1x21+1x2＝3x2-1x2+1． 类型3　求函数的定义域 【例3】　求下列函数的定义域： (1)f (x)＝2＋3x-2； (2)f (x)＝(x－1)0＋2x+1； (3)f (x)＝3-x·x-1； (4)f (x)＝x+12x+1－1-x． 思路导引：从f (x)由几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考使f (x)有意义的条件，进而进行解答． [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时， 函数f (x)＝2＋3x-2有意义， 所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当x-1≠0，2x+1≥0， x+1≠0， 解得x>－1且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． (3)函数有意义，当且仅当3-x≥0，x-1≥0，解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x+1≠0，1-x≥0，解得x≤1且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． 　求函数定义域的常用方法 (1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． [跟进训练] 3．求函数y＝2x2-3x-2＋14-x的定义域． [解]　要使函数有意义，只需 2x2-3x-2≥0，4-x≥0，　　　4-x≠0，　　　即x≤-12或x≥2，x≤4， 　　　　x≠4，　　　　 ∴x≤－12或2≤x<4， ∴函数的定义域为xx≤-12，或2≤x<4． 1．函数f (x)＝x+3x-1的定义域为(　　) A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3} C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1} C　[要使函数f (x)＝x+3x-1有意义， 则x+3≥0，x-1≠0，解得x≥－3且x≠1， 所以函数f (x)＝x+3x-1的定义域为{x|x≥－3，且x≠1}．] 2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　　　D ACD　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选ACD．] 3．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A∈R，B∈R，y＝±1-x2 B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝1x-2 D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝2x-1 B　[A错误，显然存在x∈A，对应的y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．] 4．若f (x)＝11-x2，则f (3)＝________，f (f (－2))＝________． －18　98　[∵f (x)＝11-x2， ∴f (3)＝11-9＝－18． ∵f (－2)＝11--22＝－13， ∴f (f (－2))＝f -13＝11--132＝98．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？ [提示]　(1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 2．f (x)与f (a)相同吗？两者存在怎样的联系？ [提示]　f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 3．求函数y＝f (x)的定义域常注意哪些问题？ [提示]　(1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是否为0；(4)实际意义． 函数定义的演变过程简介 　　在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间． “函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系． 欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数． 1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法． 1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”． 后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了． 可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱． 在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示． 　　你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件允许的话，去查阅更多的有关资料吧！ 课时分层作业(十六)　函数的概念(一) 一、选择题 1．(2022·广东卓雅外国语学校月考)设函数f (x)＝|x－1|－|x|，则f f12＝(　　) A．－12 B．1 C．12 D．0 B　[∵f 12＝12-1－12＝0，∴f f12＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1．故选B．] 2．(2022·河南北大公学禹州国际学校月考)函数y＝-x2+10x-16的定义域为(　　) A．x2≤x≤4 B．x0≤x≤2 C．x2≤x≤8 D．x0≤x≤8 C　[对于函数y＝-x2+10x-16，有－x2＋10x－16≥0，即x2－10x＋16≤0，解得2≤x≤8． 所以，函数y＝-x2+10x-16的定义域为{x|2≤x≤8}．故选C．] 3．下列表示y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　[结合函数的定义可知A正确，故选A．] 4．(多选)下列各图中，可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　　D ACD　[结合函数的定义可知，ACD均可能，只有B是1个x对应2个y，不满足函数的定义，故选ACD．] 5．(多选)设f ：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0} ABC　[选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意．故选ABC．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝x－1，且f (a)＝3，则a＝________． 16　[因为f (x)＝x－1，所以f (a)＝a－1． 又因为f (a)＝3，所以a－1＝3，a＝16．] 7．(2022·广东深圳实验学校高中部月考)若函数f (x)＝ax2+bx+1的定义域为x-1≤x≤13，则ab的值为________． 6　[由题意得ax2＋bx＋1≥0的解是－1≤x≤13， 所以-1+13=-ba，-1×13=1a，　解得a＝－3，b＝－2，所以ab＝6．] 8．如图所示，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f (3)＝________，f (f (4))＝__________．(用数字作答) 1　0　[由题可知f (3)＝1，f (4)＝2，则f (f (4))＝f (2)＝0．] 三、解答题 9．(2022·山东青岛第十七中学月考)已知函数f (x)＝x+20+-x2-3x+4x+2-3． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f (－1)的值． [解]　(1)f (x)的定义域满足：x+2≠0，　　　-x2-3x+4≥0，x+2-3≠0，　 解得x≠-2，　　　　-4≤x≤1，　　x≠1且x≠-5，故得－4≤x<1且x≠－2， 故函数f (x)的定义域为{x|－4≤x<－2或－20　　　　　　Δ=a2-4a≤0， 解得0