人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案，共14页。

1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(逻辑推理)
填写下表：
问题：(1)观察ab与a+b2的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点 基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
(2)变形：①ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式ab≤a+b2等号成立的条件一样吗？
[提示] 不一样，前者为a＝b，后者为a＝b>0．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋1a≥2a·1a＝2．( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤a+b22．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
类型1 对基本不等式的理解
【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的是( )
A．若a，b为正实数，则ba＋ab≥2ba·ab＝2
B．若a∈R，a≠0，则4a＋a≥24a·a＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则xy＋yx＝－-xy+-yx≤－2-xy-yx＝－2
D．若a<0，b<0，则a2+b22≤ab
AC [∵a，b为正实数，
∴ba，ab为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的，故B错误；
由xy＜0，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，-xy，-yx均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．故选AC．]
对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正实数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，ab≤a+b2的等号成立，即a＝b⇒a+b2＝ab；仅当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a+b2＝ab⇒a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋1x≥2x·1x＝2．
②若x＜0，则x＋4x＝－-x+-4x≤－2-x·-4x＝－4．
③若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2．
② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝1x，即x＝1时，x＋1x≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2 利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)如果0＜a＜b＜1，P＝a+b2，Q＝ab，M＝a+b，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)B (2)p>q [(1)法一：显然a+b2＞ab，又a+b2－a+b＝a+ba+b-22＜0，所以a+b＞a+b2，所以a+b＞a+b2＞ab．故M＞P＞Q．
法二：取a＝14，b＝12，易知M>P>Q，故选B．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．若0A．a2＋b2 B．2ab C．2ab D．a＋b
D [法一：∵02ab，a＋b>2ab，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝12，b＝13，则a2＋b2＝1336，2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝56，显然56最大，故选D．]
类型3 利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9．
思路导引：先把“1a＋1b＋1c”中的“1”替换成a＋b＋c，然后利用基本不等式证明1a＋1b＋1c>9．
[证明] ∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
∴1a＋1b＋1c＝a+b+ca＋a+b+cb＋a+b+cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc
＝3＋ba+ab＋ca+ac＋cb+bc
≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号，而a、b、c互不相等，∴1a＋1b＋1c>9．
[母题探究]
本例条件不变，求证：1a-11b-11c-1>8．
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝b+ca>0，1b－1＝a+cb>0，1c－1＝a+bc>0，
∴1a-11b-11c-1＝b+ca·a+cb·a+bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴1a-11b-11c-1＞8．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材)已知a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ac．
[证明] 因为a>0，b>0，c>0，所以由基本不等式，得a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，
b＋c≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立，
a＋c≥2ac，当且仅当a＝c时，等号成立．
上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2ab＋2bc＋2ac，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．不等式a2＋4a2≥4中，等号成立的条件是( )
A．a＝4 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＝±2
D [此不等式等号成立的条件为a2＝4a2，即a＝±2，故选D．]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0C．aba＋b
C [∵a>b>0，∴由基本不等式知ab3．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“ab＋ba≥2”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B [a2＋b2≥2ab中，ab可能小于0，则ab＋ba≥2不成立；若ab＋ba≥2，则a，b同号，a2＋b2≥2ab成立．故选B．]
4．已知a＞b＞c，则a-bb-c与a-c2的大小关系是________．
a-bb-c≤a-c2 [∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴a-bb-c≤a-b+b-c2＝a-c2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出ab≤a+b2？
[提示] 对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2ab，即ab≤a+b2．
2．基本不等式ab≤a+b2的常见变形有哪些？
[提示] ①a＋b≥2ab；②ab≤a+b22．
课时分层作业(十二) 基本不等式
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t C．s≤t D．sA [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s．故选A．]
2．(2022·上海市浦东复旦附中分校月考)设x>y>0，则下列各式中正确的是( )
A．x>x+y2>xy>y
B．x>xy>x+y2>y
C．x>x+y2>y>xy
D．x>xy>y>x+y2
A [∵x>y>0，
∴2x>x＋y，x+y2>xy，xy>y2，即xy>y，
∴x>x+y2>xy>y．
故选A．]
3．(2022·吉林东北师大附中月考)已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )
A．xy≤x+y22 B．x2+y2xy≥2
C．x+1x≥2 D．x2＋y2≥2|xy|
B [对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，
即xy≤x+y22，当且仅当x＝y时取等号，故A正确；
对于B，当x、y异号时x2+y2xy<0，故B错误；
对于C，x+1x＝|x|＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当|x|＝1x，即x＝±1时取等号，故C正确；
对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D正确；故选B．]
4．(多选)下列条件可使ba＋ab≥2成立的是( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
ACD [当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．]
5．(多选)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋14>x(x>0)
B．x＋2x≥22(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．1x2+1>1(x∈R)
BC [A中，当x＝12时，x2＋14＝x，所以A不一定成立；
B中，当x>0时，x＋2x≥22，当且仅当x＝2时，等号成立，所以B一定成立；
C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；
D中，因为x2＋1≥1，所以0<1x2+1≤1，所以D不成立．故选BC．]
二、填空题
6．比较大小：x2+2x2+1________2．(填“>”“<”“≥”或“≤”)
≥ [x2+2x2+1＝x2+1+1x2+1＝x2+1＋1x2+1≥2，当且仅当x2+1＝1x2+1，即x＝0时取“＝”．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值a+b2的大小关系为________．
x≤a+b2 [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)．
∴1＋x＝1+a1+b≤1+a+1+b2＝1＋a+b2，∴x≤a+b2，当且仅当a＝b时等号成立．]
8．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数．
CD [在Rt△ADB中，DC为高，由△ACD∽△DCB可知CD2＝AC·CB，∴CD＝ab．]
三、解答题
9．设a>0，b>0，试比较a+b2，ab, a2+b22，21a+1b的大小，并说明理由．
[解] ∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥2ab，
即ab≥21a+1b(当且仅当a＝b时取等号)．
又a+b22＝a2+2ab+b24≤a2+b2+a2+b24＝a2+b22，
∴a+b2≤ a2+b22(当且仅当a＝b时等号成立)，
而ab≤a+b2，故 a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(当且仅当a＝b时等号成立)．
10．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
A [由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤c+d22，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．]
11．已知a，b是不相等的正数，x＝a+b2，y＝a+b，则x，y的关系是( )
A．x>y B．xC．x>2y D．y<2x
B [因为a>0，b>0，且a≠b，所以x2＝a+b+2ab2<2a+b2＝a＋b，y2＝a＋b，所以x20，y>0，∴x12．赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可以利用该图作为“________”的几何解释( )
A．如果a>b>0，那么a>b
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
C [可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，
四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立．]
13．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②a+1ab+1b≥4；
③(a＋b)1a+1b≥4；④a2＋9>6a．
其中恒成立的是________．(填序号)
①②③ [由于a2＋1－a＝a-122＋34>0，故①恒成立；
由于a＞0，b＞0，∴a＋1a≥2，b＋1b≥2．
∴a+1ab+1b≥4，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，故②成立；
由于(a＋b)1a+1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ab＝ba，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③．]
14．已知a，b，c为正数，求证：b+c-aa＋c+a-bb＋a+b-cc≥3．
[证明] 左边＝ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－1＝ba+ab＋ca+ac＋cb+bc－3．
∵a，b，c为正数，
∴ba＋ab≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
ca＋ac≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
cb＋bc≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而ba+ab＋ca+ac＋cb+bc≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴ba+ab＋ca+ac＋cb+bc－3≥3，
即b+c-aa＋c+a-bb＋a+b-cc≥3．
15．(1)已知a，b，c∈R，求证：a2+b2＋b2+c2＋c2+a2≥2(a＋b＋c)；
(2)若00，b>0，求证：a2x＋b21-x≥(A＋B)2．
[证明] (1)∵a+b2≤a2+b22，
∴a2+b2≥a+b2＝22(A＋B)(当且仅当a＝b时，等号成立)；
同理，b2+c2≥22(b＋c)(当且仅当b＝c时，等号成立)；a2+c2≥22(a＋c)(当且仅当a＝c时，等号成立)．
三式相加得a2+b2＋b2+c2＋a2+c2≥22(A＋B)＋22(b＋c)＋22(a＋c)＝2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(2)∵0∴1－x>0，
左边＝(x＋1－x)a2x+b21-x＝a2＋b2＋x1-xb2＋1-xxa2≥a2＋b2＋2x1-xb2·1-xxa2＝a2＋b2＋2ab＝(A＋B)2＝右边．
即a2x＋b21-x≥(a＋b)2．
a
b
ab
a+b2
ab与a+b2的大小关系
12
18
14
1
4
16
2
2
…
…