第2章 一元二次函数、方程和不等式-综合检测3（拔尖卷）-高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

第2章  一元二次函数、方程和不等式

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设，，则有

A．P>Q  B．P≥Q

C．P<Q  D．P≤Q

【试题来源】广东省佛山市南海区狮山高级中学2021-2022学年高一上学期阶段一（月考）

【答案】B

【分析】利用作差法可判断两者的大小关系．

【解析】，故，故选B．

2．已知x>0，y>0，且xy=10，则的最小值为

A．2  B．3

C．4  D．6

【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

【答案】C

【分析】利用基本不等式即可求解

【解析】因为x>0，y>0，且xy=10，所以，

当且仅当即时取等号，所以的最小值为4，故选C

3．若不等式的解集为空集，则的取值范围是

A． B．，或

C． D．，或

【试题来源】北京市通州区运河中学2021-2022学年高一10月诊断

【答案】C

【分析】根据题意可得，从而即可求出的取值范围．

【解析】因为不等式的解集为空集，

所以，所以．故选C．

4．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．现将一物体放在左、右托盘各称一次，称量结果分别为和，设该物体的真实质量为，则

A．  B．

C．  D．

【试题来源】人教B版（2019）  必修第一册 学习帮手 第二章（第一课时）

【答案】B

【分析】设天平的两臂的长度分别为和，得到且，且，结合基本不等式，即可求解．

【解析】设天平的两臂的长度分别为和，

若两次称量结果分别为，则有且，且，

两式联立可得，即，又由，可得，则．故选B．

5．已知，，则的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市尚志中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

【答案】D

【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围．

【解析】令，所以，即，

所以，故．故选D

6．若，且，则的取值范围

A．  B．

C．  D．

【试题来源】安徽省六安市霍邱县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次段考

【答案】D

【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解．

【解析】由，且，则，即，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

整理得，即，

因为，所以，所以，解得．故选D

7．对于任意实数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，，那么不等式成立的的范围是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】福建省厦门第一中学2021-2022学年高一9月数学质量检测试题

【答案】C

【分析】根据不等式可求出，然后结合的含义即可求出的范围．

【解析】由，得，又表示不大于x的最大整数，所以．故选C．

8．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是

A． B．

C．或 D．或

【试题来源】湖南省部分学校2021-2022学年高一上学期10月联考

【答案】D

【分析】令，解得或．对两个根进行分类讨论，即，，三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个整数，即可得到答案；

【解析】令，解得或．

当，即时，不等式的解集为，则，解得；

当，即时，不等式无解，所以不符合题意；

当，即时，不等式的解集为，则，解得．综上，的取值范围是或．故选D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列四个命题正确的有

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【试题来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次段考

【答案】BD

【分析】A．举反例说明该选项错误；

B．由不等式的乘法性质得该选项正确；

C． 符合不能确定，所以该选项错误；

D． 利用作差法判断得该选项正确．

【解析】A． 若，所以该选项错误；

B． 若，则，由不等式的乘法性质得该选项正确；

C． 若，则符号不能确定，所以该选项错误；

D． 若，则，则，所以该选项正确．

故选BD.

10．下列选项中正确的有

A．不等式恒成立 B．，则

C．的最小值为1 D．存在a，使得不等式

【试题来源】福建省福州第三中学（滨海校区）2021-2022学年高一上学期第一次质量检测

【答案】BD

【分析】根据基本不等式的条件即可判断A、C、D；利用作差法即可判断B．

【解析】对于A，当时，，，故A错误；

对于B，，

所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当，即时，取等号，又因，所以，故C错误；

对于D，当时，，所以存在，使得不等式成立，故D正确．

故选BD．

11．若不等式的解集是，则以下正确的有

A．a＜0         B．

C．       D．的解集为（﹣2，）

【试题来源】江苏省苏州实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考

【答案】ABC

【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解．

【解析】不等式的解集是，开口向下，故A正确；

，是方程的个两根，，故B正确；

根据对称轴和可推出，

带入选项中的式子可得，故C正确；

，是方程的个两根，，

当，，故解得，D错误；故选ABC

12．下列说法正确的有

A．的最小值为2

B．函数的最小值为2

C．若正数x､y满足，则的最小值为3

D．设x､y为实数，若，则的最大值为

【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考

【答案】CD

【分析】A．当时，，所以函数的最小值不可能是2，所以该选项错误；

B． 没有实数解，所以等号不能成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误；C．利用基本不等式求出的最小值为3．所以该选项正确；

D． 求出，故的最大值为，所以该选项正确．

【解析】A． ，当时，，所以函数的最小值不可能是2，所以该选项错误；B． 函数，但是没有实数解，所以等号不能成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误；

C．由题得，则

，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3．所以该选项正确；

D．

，所以，可得，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以该选项正确．故选CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则的取值范围为___________．

【试题来源】福建省福州第三中学（滨海校区）2021-2022学年高一上学期第一次质量检测

【答案】

【分析】根据不等式的性质计算可得；

【解析】：因为，所以，因为，所以，

所以，则的取值范围为，故答案为.

14．关于x的不等式x2+ax+a≤1对一切x∈（0，1）恒成立，则a的取值范围为___________．

【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

【答案】

【分析】原不等式可化为，设，则由题意可得，从而可求得a的取值范围

【解析】原不等式可化为，设，

因为关于x的不等式x2+ax+a≤1对一切x∈（0，1）恒成立，所以，即

解得，所以a的取值范围为，故答案为.

15．已知，，均为正数，则的最大值为___________．

【试题来源】人教B版（2019）  必修第一册 学习帮手 第二章（第二课时）

【答案】

【分析】先利用基本不等式判断出，即可求出的最大值．

【解析】因为，（当且仅当时取等号）．

所以，所以，

的最大值为．故答案为．

16．若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是___________．

【试题来源】上海市奉贤中学2021-2022学年高一上学期10月月考

【答案】

【分析】先求得不等式的解集，再结合题意，即可得答案．

【解析】不等式，所以，解得，

因为不等式组无解，所以．故答案为

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0．

（1）若a=1，求不等式的解集∶

（2）若不等式的解集是R，求a的取值范围．

【试题来源】广西崇左市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由a=1，得到不等式x2+4x-3<0，然后利用一元二次不等式的解法求解；

（2）根据不等式的解集是R，利用判别式法求解．

【解析】（1）当a=1时，不等式为x2+4x-3<0，，

则相应方程有两个根， ，

所以不等式的解集是；

（2）因为不等式的解集是R，

当时，不等式为 ，满足题意；

当 时，则，解得 ，

综上：求a的取值范围．

18．（12分）

（1）若，试比较与的大小；

（2）已知，．求的取值范围．

【试题来源】广西壮族自治区桂林市桂林中学2021-2022学年高二上学期开学考试

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用作差法，即可比较代数式的大小．

（2）利用不等式的性质求的取值范围即可．

【解析】（1）由题设，，

所以．

（2）由题设，，而，

所以．

19．（12分）

已知，，均为正数，且，求证：

（1）；

（2）．

【试题来源】人教B版（2019）  必修第一册 学习帮手 第二章（第二课时）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可．

（2）利用基本不等式直接证明即可．

【解析】证明：（1）因为，，均为正数，，

所以，，，

三式相乘，得，

当且仅当时，等号成立．

（2）因为，，均为正数，，

所以，，，

三式相加，得，

即，当且仅当时，等号成立．

20．（12分）

已知函数．

（1）关于x不等式的解集为空集，求实数m的取值范围；

（2）设（1）中m取值范围为集合A，又集合，若，求实数a的取值范围．

【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高一上学期10月月考

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据一元二次不等式解集为空集的条件列出不等式即可求解作答；

（2）由（1）并结合确定，求出集合B即可列出不等式作答．

【解析】（1）因的解集为空集，则，解得，

所以实数m的取值范围为；

（2）由（1）知，，因，显然，，即在内存在数在集合B中，

于是得，，因此有，解得，

所以实数a的取值范围为．

21．（12分）

某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金）万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位∶元台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．

（1）求m的值，并写出2021年该款摩托车的年利润Z（单位∶万元）关于年产量x（单位∶万台）的函数解析式；

（2）当2021年该款摩托车的年产盘x为多少时，Z年利润最大？最大年利润是多少？

（年利润=销售所得-投入资金-设备改造费）

【试题来源】广东省佛山市南海区狮山高级中学2021-2022学年高一上学期阶段一（月考）

【答案】（1），；（2），此时．

【分析】（1）由题设中的生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元可求，利用销售额减去成本可得函数解析式；

（2）根据（1）中的解析式可求年利润最大值以及何时取最大值．

【解析】（1）当时，，故．

当时，；

当时，，

故．

（2）当时，，

故当时，在上的最大值为．

当时，，当且仅当时等号成立．

因为，故，此时．

答：当2021年该款摩托车的年产盘万台时，Z年利润最大且最大年利润为．

22．（12分）

已知函数过点，且满足．

（1）求函数的解析式；

（2）解关于的不等式：．

【试题来源】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）根据题意，由待定系数法和二次函数的性质，即可求出结果；

（2）根据题意，将不等式化为，计算出，根据的取值情况，对进行分类讨论，即可求出结果．

【解析】（1）因为函数过点，

所以，所以，即，

因为，所以的对称轴为

所以，解得，故．

（2）由（1），

方程的判别式为．

①当，即时，方程无解，

所以不等式的解集为；

②当，即时，方程有两个相等的实数根，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

③当，即或时，

方程有两个根为，

不等式的解集为．

综上，时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为．