人教A版高中数学必修第一册第2章2-1第1课时不等关系与不等式课时学案

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2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理) 你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100． 知识点1　基本事实 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点2　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是(　　) A．若a不是负数，则a≥0 B．若x不大于3，则x<3 C．若m与4的差是负数，则m－4<0 D．若x与2的和是非负数，则x＋2>0 AC　[x不大于3可表示成x≤3; x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．] 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． [答案]　a＝1 类型1　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　(1)某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为(　　) A．x≥2，x∈N+ y≥2，y∈N+ 0.8×5x+2×4y≤50 B．x≥2　　　　　　　　y≥2　　　　　　　　0.8×5x+2×4y≤50 C．x≥2y≥2 D．0.8×5x＋2×4y≤50 (2)京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请用不等式表示三种交通工具的速度关系． (1)A　[买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，则价格为(0.8×5x)元． 买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，则价格为(2×4y)元． ∵某同学拿50元钱买纪念邮票， ∴0.8×5x＋2×4y≤50． 又知，每种邮票至少买两套，故x≥2，y≥2且x∈N＋，y∈N＋， 综上，有不等式组x≥2，x∈N+，　　　　y≥2，y∈N+，　　　　0.8×5x+2×4y≤50． 故选A．] (2)[解]　设复兴号列车的速度为v1， 民航飞机的速度为v2， 普通客车的速度为v3． v1、v2的关系：2v1＋100≤v2， v1、v3的关系：v1＞3v3． 　利用不等式(组)表示不等关系的注意点 (1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示． (2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． [跟进训练] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以060 C．v≤60 D．v≥36 [答案]　C 2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　 ) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 [答案]　C 3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A．] 4．若实数a>b，则a2－ab______ba－b2．(填“>”或“<”) >　[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？ [提示]　a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a40 C．T≤40 D．T≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．故选C．] 2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b C　[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， ∴a≥b．故选C．] 3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 A　[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5．故选A．] 4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为(　　) A．a+mb+m＜ab B．a+mb+m＞ab C．a-mb-m＜ab D．a-mb-m＞ab B　[糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故a+mb+m＞ab．故选B．] 5．已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c-1，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 C　[用作商法比较，由题意x，y＞0， ∵xy＝c+1-cc-c-1＝c+c-1c+1+c＜1，且y＞0∴x＜y．故选C．] 二、填空题 6．若x∈R，则x1+x2与12的大小关系为________． x1+x2≤12　[∵x1+x2－12＝2x-1-x221+x2＝-x-1221+x2≤0，∴x1+x2≤12．] 7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________． 8(x＋19)>2 200　[因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车现在每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．] 8．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________． ①　　　　　　　② 12(a2＋b2)>ab　[由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝12(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即12(a2＋b2)>ab．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)比较两数(a2＋1)2与a4＋a2＋1的大小． [解]　因为(a2＋1)2－(a4＋a2＋1) ＝a4＋2a2＋1－a4－a2－1 ＝a2． 当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2＝a4＋a2＋1； 当a≠0时，a2>0，所以(a2＋1)2>a4＋a2＋1． 10．(多选)下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋2>2a B．a2＋b2≥2(a－b－1) C．a2＋b2≥ab D．(a＋3)(a－5)>(a＋2)(a－4) ABC　[A中，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A正确；B中，a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋14b2＋34b2＝a-12b2＋34b2≥0，故C正确；D中，因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)，故D错误．] 11．四位好朋友在一次聚会上按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 A　[由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．] 12．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________． 2≤d≤23　[最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长23．故2≤d≤23．] 13．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 2　±1　[根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立．] 14．(2022·广东深圳实验学校高中部月考)(1)已知a1，a2，b1，b2是实数，求证：(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1＋a2b2)2； (2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝2，求证：a2＋b2＋c2≥43． [证明]　(1)(a12+a22)(b12+b22)－(a1b1＋a2b2)2 ＝a12b12+a12b22+a2 2b12+a22b22-a12b12-2a1b1a2b2-a22b22 ＝a12b22+a22b12－2a1b1a2b2＝(a1b2－a2b1)2≥0， 当且仅当a1b2－a2b1＝0时，取等号， ∴对任意实数a1，a2，b1，b2， (a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1＋a2b2)2成立． (2)∵a＋b＋c＝2， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝4． ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc ≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2 ＝3(a2＋b2＋c2)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝4， ∴a2＋b2＋c2≥43． 15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． [解]　设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a0，于是a+mb+m>ab．又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%．所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了． 文字表示符号表示如果a－b是正数，那么a＞ba－b＞0⇔a＞b如果a－b等于0，那么a＝ba－b＝0⇔a＝b如果a－b是负数，那么a＜ba－b＜0⇔a＜b