必刷基础练【3.1 从算式到方程】-2022-2023学年七年级数学上册同步考点必刷练精编讲义（人教版）

2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第3章《一元一次方程》

3.1 从算式到方程

知识点1：一元一次方程的定义

1．（2022七上·巴中期末）下列各式中是一元一次方程的是(　　) 

A．x－3 B．x2－1＝0 C．2x－3＝0 D．x－y＝3

【答案】C

【完整解答】解：A项，不是方程，A项错误；B项，未知数最高次数为二次，不是一元一次方程，B项错误；C项，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；D项，含有两个未知数，不是一元一次方程，D项错误.
故答案为：C.
【思路引导】一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程，据此判断.

2．（2021七上·揭东期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（　　）

A．1 B．－1

C．1或－1 D．以上结果均错误

【答案】A

【完整解答】∵关于x的方程是一元一次方程，

∴ |m|=1，m+1≠0，

∴m=1.

故答案为：A.

【思路引导】由一元一次方程的定义可得：|m|=1，m+1≠0，解之可得答案。

3．（2021七上·海珠期末）下列方程中是一元一次方程的是（          ）

A．2x=3y B．

C． D．

【答案】B

【完整解答】解：，含有两个未知数，故不符合题意；

B. ，是一元一次方程，符合题意；

C. ，最高为2次，不是一元一次方程，故不符合题意；

D. ，不是整式方程，故不符合题意，

故答案为：B.

【思路引导】根据一元一次方程的定义逐项判断即可。

4．（2021七上·金塔期末）若3x2k﹣4=5是一元一次方程，则k=　     　.

【答案】

【完整解答】解：∵3x2k﹣4=5是一元一次方程

∴2k-4=1，解得k=.

故答案为：.

【思路引导】只含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程就是一元一次方程，依此建立关于k的一元一次方程求解即可.

5．（2021七上·金昌期末）当　     　时，关于的方程是一元一次方程.

【答案】3

【完整解答】解：根据题意得：4-m=1，解得：m=3.

故答案为：3.

【思路引导】只含有一个未知数，未知数的指数是1的整式方程就是一元一次方程，依此建立关于m的一元一次方程求解即可.

6．（2021七上·长沙期末）已知 是关于x的一元一次方程，则m的值是　     　. 

【答案】2

【完整解答】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，

∴ ，

解得： .

故答案为：2.

【思路引导】只含有一个未知数，未知数的次数是1，且一次项的系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.

7．（2021七上·抚远期末）已知方程（a﹣5）x|a|﹣4+2=0是关于x的一元一次方程，则a的值是　     　．

【答案】-5

【完整解答】由题意可知：，

解得：a=﹣5.

【思路引导】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程就叫做一元一次方程，据此解答即可.

8．（2022七上·巴中期末）已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程.

（1）求m的值及方程的解.

（2）求代数式 的值. 

【答案】（1）解： 方程 是关于 的一元一次方程， 

且 ，

，

原一元一次方程化为： ，解得

（2）解：原式

，

当 时，原式

【思路引导】（1）根据方程为一元一次方程可得1-m2=0且m+1≠0，求解可得m的值，据此可得一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则对原式进行化简，然后将x、m的值代入进行计算.

9．（2021七上·玉州期末）已知代数式 . 

（1）化简 ；  

（2）如果 是关于 的一元一次方程，求 的值.  

【答案】（1）解： ，  

  ，

，

；

（2）解：∵ 是关于 的一元一次方程，  

∴ ，

∴ ，

∴ .

【思路引导】 （1）首先去括号，然后再合并同类项即可；
（2）含有一个未知数，未知数项的最高次数是一次，且一次项的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，根据定义列出方程组再解可得a、b的值，然后再代入（1）化简的式子可得答案．

10．已知 是关于x的一元一次方程，求m的值．

【答案】解：根据题意得， 且 ，

解得

【思路引导】根据一元一次方程的含义，二次项的系数为0，一次项的系数不为0，即可得到m的值。

知识点2：一元一次方程的解

11．（2022七上·遵义期末）若 是关于x的方程 的解，则m的值是（　　） 

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【完整解答】解：把x=-1代入方程，可得：2×（-1）-3=6m-（-1），

解得：m=-1，

故答案为：B.

【思路引导】把x=-1代入方程中即可求出m值.

12．（2021七上·白银期末）下列方程中，其解为 的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【完整解答】解：A、当x=-2时， ，故不符合题意；

B、 当x=-2时， ，故不符合题意；

C、 当x=-2时， ，故不符合题意；

D、 当x=-2时， ，故符合题意.

故答案为：D.

【思路引导】分别将x=-2代入各个选项中方程的左边，求出对应的值，然后与右边进行比较即可判断.

13．（2021七上·白云期末）下列方程中，x＝1是方程（　　）的解

A．2x+6＝10 B．2x+9＝10 C．3x+6＝10 D．3x+9＝12

【答案】D

【完整解答】解：A．把x=1代入方程2x+6=10得：左边=2×1+6=8，右边=10，左边≠右边，

所以x=1不是方程2x+6=10的解，故本选项不符合题意；

B．把x=1代入方程2x+9=10得：左边=2×1+9=11，右边=10，左边≠右边，

所以x=1不是方程2x+9=10的解，故本选项不符合题意；

C．把x=1代入方程3x+6=10得：左边=3×1+6=9，右边=10，左边≠右边，

所以x=1不是方程3x+6=10的解，故本选项不符合题意；

D．把x=1代入方程3x+9=12得：左边=3×1+9=12，右边=12，左边=右边，

所以x=1是方程3x+9=12的解，故本选项符合题意；

故答案为：D．

【思路引导】将x=1分别代入各选项判断即可。

14．（2020七上·南沙期末）若x＝﹣1是关于x的方程2x＋5a＝3的解，则a的值　     　．

【答案】1

【完整解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x＋5a＝3的解，

∴，

解得：．

故答案为：1

【思路引导】将x＝﹣1代入方程2x＋5a＝3中，即可求出a值.

15．（2021七上·郴州期末）已知关于 的方程 的解是 ，则 的值等于　     　. 

【答案】

【完整解答】解：把 代入 得，

，解得 ，

故答案为：-5.

【思路引导】将x=-1代入原方程中可得关于a的方程，求解即可.

16．（2021七上·延庆期末）如果是关于x的方程的解，那么a ＝　     　．

【答案】2

【完整解答】解：将x=4代，

，

，

故答案为：2．

【思路引导】将x=4代入方程求出a的值即可。

17．已知x= 是方程 的解，求关于y的方程my+2=m（1-2y）的解．

【答案】解：∵x=是方程 5m+12x=+x 的解，
∴5m+12×=+，
解得：m=-1，
将m=-1代入方程my+2=m（1-2y）得：
-y+2=-（1-2y），
解得：y=1.

【思路引导】将x=代入关于x的方程求出m值，再将m值代入关于y的方程，解之即可.

18．（2020七上·莲湖月考）小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了： ，“□”是被污染的数.他很着急，翻开书后面的答案，这道题的解是x＝2，你能帮他补上“□”的数吗？  

【答案】解：设“□”的数为m，因为所给方程的解是x＝2，所以 ，解得m＝4，所以“□”的数为4.   

【思路引导】设“□”＝m，把x＝2代入原方程，得到关于m的一个一元一次方程，接下来按照解一元一次方程的步骤求出m的值即可.

19．（2018七上·灵石期末）老师在黑板上出了一道解方程的题： ，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x-1）=1-3（x+2），①

8x-4=1-3x-6，②

8x+3x=1-6+4，③

11x=-1，④

x=- ．⑤

老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第几步，然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．

⑴5（x+8）=6（2x-7）+5；

⑵   .

【答案】解：他错在第①步．

⑴5（x+8）=6（2x-7）+5，

去括号得：5x+40=12x-42+5，

移项得：5x-12x=-42+5-40，

合并同类项得：-7x=-77，

把x的系数化为1得：x=11；

⑵ -1= ，

去分母得：3（3a-1）-12=2（5a-7），

去括号得：9a-3-12=10a-14，

移项得：9a-10a=-14+3+12，

合并同类项得：-a=1，

把a的系数化为1得：a=-1．

【思路引导】根据等式的性质，只有等号左右进行相同的加减乘除等号才会仍然成立，所以第一步就错了；
（1）根据一元一次方程的解法，进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解；
（2）采用等号左右同乘以最小公分母来去分母，移项计算方程即可。

20．某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一

A：计时制：0.05元/分，B：包月制：50元/月，此外，每一种上网时间都要收通信费0.02元/分

（1）某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用(用y表示)  

（2）若甲用户估计一个月上网时间为20小时，乙用户估计一个月上网时间为15小时，各选哪一种收费方式最合算？  

【答案】（1）解：根据题意可得： 

第一种方式：

第二种方式：

（2）解：甲用户：用第一种方式：

用第二种方式：

故甲用户选择第二种方式最合算

乙用户：用第一种方式：

用第二种方式：

故乙用户选择第一种方式最合算

【思路引导】（1）根据已知的两种数量关系列出函数表达式
（2）根据提供的值，带入表达式中求解

知识点3：根据数量关系列出方程

21．（2021七上·黄埔期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍，则下列等式正确的是（　　）

A．3a﹣5＝4a B．3a+5＝4a

C．5﹣3a＝4a D．3（a+5）＝4a

【答案】B

【完整解答】解：∵比a的3倍大5的数为3a+5，a的4倍为4a，

∴根据题意得3a+5=4a．

故答案为：B．

【思路引导】比a的3倍大5的数为3a+5，a的4倍为4a，然后根据题意建立等式即可.

22．（2021七上·长清期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？“译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【完整解答】解：设有x人，根据题意得：

．

故答案为：A

【思路引导】 根据如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列方程即可。

23．（2021七上·邢台月考）若式子x+1的值为﹣3，则x的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4

【答案】B

【完整解答】解：根据题意可得，解得

故答案为：B

【思路引导】将-3代入计算即可得出答案。

24．（2020七上·石景山期末）如果代数式 与 的值互为相反数，则 的值为（　　）  

A． B． C． D．

【答案】D

【完整解答】解：根据题意，得 ，

解得： ，

故答案为：D．

【思路引导】根据互为相反数的两数相加等于0，列方程，再计算求解即可。

25．（2021七上·安阳期末）将下列数量间的相等关系用方程表示出来：比x的2倍小1的数是7.　     　 . 

【答案】2x-1=7

【完整解答】解：根据题意可得：2x-1=7，

故答案为：2x-1=7

【思路引导】由题意列出方程解答即可.此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据比x的2倍小1的数是7列方程解答即可.

26．（2020七上·道外期末）列等式表示“x的2倍与10的和等于18”为　         　．  

【答案】

【完整解答】根据题意列式如下：

2x+10=18．

故答案为：2x+10=18．

【思路引导】根据x的2倍与10的和等于18 列方程求解即可。

27．（2020七上·哈尔滨月考）一个数 的 与2的和等于10的30％，则可列出的方程为　              　．  

【答案】

【完整解答】由题意，可列出的方程为 ，

故答案为： ．

 【思路引导】根据 一个数 的 与2的和等于10的30％ ，可得.

28．根据问题，设未知数，列出方程：

（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，路程为3000m？

（2）一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的宽．

【答案】（1）解：设沿跑道跑x周，由题意得400x=3000

（2）解：设这个长方形的宽x厘米，则长为（x+2）厘米，由题意得

2[x+（x+2）]=20

【思路引导】（1）根据周长乘以周数可得路程即可得出方程；
（2）根据长方形的两邻边和的2倍=周长设这个长方形的宽x厘米，则长为（x+2）厘米，从而可得方程.

29．一个正方形花圃边长增加2cm，所得新正方形花圃的周长是28cm，则原正方形花圃的边长是多少？（只列方程）

【答案】解：设原正方形的边长为xcm ，根据题意得：4（x+2）=28

【思路引导】设原正方形的边长为xcm ，则新正方形的边长为（x+2）cm，根据正方形的周长计算方法即可列出方程。

知识点4：等式的性质

30．（2021七上·白银期末）下列判断错误的是（　　） 

A．若 ，则  B．若 ，则

C．若 ，则  D．若 ，则

【答案】B

【完整解答】解：若 ，则 ，符合等式的性质，故A选项不符合题意；

若 ，则b-a=10，所以 ，故B符合题意；

若 ，则 ，符合等式的性质，故C不符合题意；

若 ，则 ，符合等式的性质，故D不符合题意.

故答案为：B.

【思路引导】等式的性质：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；等式两边同时乘或除（除数不为0）相等的数或式子，两边依然相等，据此即可一一判断得出答案.
 

31．（2022七上·遵义期末）下列等式变形正确的是（　　） 

A．若 ，则  B．若 ，则

C．若 ，则  D．若 ，则

【答案】D

【完整解答】解：A. 若 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；

B. 若 ，且 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；

C. 若 ，且 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；

D. 若 ，则 ，故该选项正确，符合题意；

故答案为：D

【思路引导】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.

32．（2021七上·南宁期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　）.

A．如果 ，那么  B．如果 ，那么

C．如果 ，那么  D．如果 ，那么

【答案】C

【完整解答】解： ，根据等式性质1，两边都加5，等式成立，选项A正确，不合题意；

，根据等式性质2，两边都乘以-3，等式成立，选项B正确，不合题意；

，根据等式性质1，两边都加同一个数，等式成立，但两边加的数不同，等式不成立，故此选项C不正确，符合题意；

，根据等式性质2，两边都除以2，等式成立，两边再同加1，等式成立，故选项D正确，不合题意.

故答案为：C.

【思路引导】根据等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为零的整式，等式仍然成立，对各选项进行逐一分析即可.

33．（2021七上·天门月考）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（　　） 

A．若 ，则  B．若 ，则

C．若 ，则  D．若 ，则

【答案】B

【完整解答】解：A、若 ，在等式的两边都加上同一个数“c”，等式依然成立，即 ，故该选项不正确，不符合题意；

B、若 ，在等式的两边都乘以同一个数“c”，等式依然成立，即 ，故该选项正确，符合题意；

C、若 ，且 ，在等式的两边都车衣同一个不为0的数“c”，等式依然成立，即 ，故该选项不正确，不符合题意；

D、若 ，在等式的两边都乘以同一个数“6c”，等式依然成立，即 ，故该选项不正确，不符合题意.

故答案为：B.

【思路引导】等式的性质：等式两边同加或同减去一个数，等式依然成立；等式两边同乘以一个数，等式依然成立，等式两边同除以一个不为零的数，等式依然成立，据此一一判断得出答案.

34．（2021七上·房山期中）若a＝b，下列等式不一定成立的是（　　） 

A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．ac＝bc D．

【答案】D

【完整解答】解： 、 两边都加上5，等式成立，故本选项不符合题意；

、 两边都减去5，等式成立，故本选项不符合题意；

、 两边都乘以 ，等式成立，故本选项不符合题意；

、 两边同时除以 ，当 时才成立，则等式不一定成立，故本选项符合题意；

故答案为：D．

【思路引导】根据等式的性质逐项判断即可。

35．（2021七上·顺义期末）小硕同学解方程的过程如下：

其中，第一步移项的依据是　                　．

【答案】等式的基本性质1

【完整解答】解：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，

所以第一步移项的依据是等式的基本性质1，

故答案为：等式的基本性质1．

【思路引导】根据等式的性质求解即可。

36．（2020七上·郑州月考）已知 ，利用等式性质可求得a+b的值是　     　.  

【答案】2

【完整解答】解：5a+8b＝3b+10，

5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，

5a+5b＝10，

5（a+b）＝10，

a+b＝2.

故答案为：2.

【思路引导】根据等式的性质，等式的两边同时减去3b，可得5a+5b=10，再把等式的两边同时除以5即可.

37．（2020七上·无棣期末）下面的框图表示了琳琳同学解方程的流程：你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第　     　步开始出现问题，正确完成这一步的依据是　                　．

【答案】一；等式的基本性质1

【完整解答】解：我认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第一步开始出现问题，符合题意完成这一步的依据是等式的基本性质1．

故答案为：一；等式的基本性质1．

【思路引导】利用一元一次方程的解法和等式的性质求解即可。

38．（2021七上·岚皋期末）阅读下列材料：

问题：怎样将表示成分数？

小明的探究过程如下：

设①，

②，

③，

④，

⑤，

⑥，

⑦.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是　                　，从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是　                　.

（2）仿照上述探究过程，请你将表示成分数的形式.

【答案】（1）等式的基本性质2；等式的基本性质1

（2）解：设，

.

，

，

，

.

【完整解答】解：（1）从步骤①到步骤②，是在等式的两边都乘以了10，变形的依据是等式的基本性质2，从步骤⑤到步骤⑥，是在等式的两边同时减去x，变形的依据是等式的基本性质1；

故答案为：等式的基本性质2，等式的基本性质1；

 【思路引导】（1）根据等式的性质即可求解；
（2）设＝x，根据等式的性质2，方程的两边都乘10得出10x＝10×，求出10x＝3＋x，再求出方程的解即可．

39．（2020七上·清江浦期中）阅读理解题：

下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：

x﹣4+4＝3x﹣4+4，①

x＝3x，②

1＝3.③

（1）小明①的依据是　                                                       　.

（2）小明出错的步骤是　     　，错误的原因是　                　.

（3）给出正确的解法.

【答案】（1）等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式

（2）③；等式两边都除以0

（3）解：x﹣4＝3x﹣4，

 x﹣4+4＝3x﹣4+4，

x＝3x，

x﹣3x＝0，

﹣2x＝0，

x＝0.

【完整解答】解：（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；

故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；

（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；

故答案为：③；等式两边都除以0.

【思路引导】（1）（2）根据等式的性质逐一分析即可.
（3）利用移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可.

40．（2021七上·江油期末）已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为　     　．

【答案】3或9

【完整解答】解：∵|a+m|＝6，|n-a|＝3，
∴a+m＝±6，n-a＝±3，
∴a+m+n-a＝m+n=±9或±3，
∴ |m+n| =9或3.
故答案为：3或9.
【思路引导】根据绝对值的性质得出a+m＝±6，n-a＝±3，根据等式 的性质得出m+n=±9或±3，即可得出|m+n| =9或3.