高中数学3.3 抛物线优秀学案

3.3.1　抛物线及其标准方程

【学习目标】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．

2．会求简单的抛物线的方程．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P130～132，思考并完成以下问题

1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？

2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？

二、课前小测

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线(　　)

(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)(　　)

2．抛物线x＝－2y2的准线方程是(　　)

A．y＝　　　　　　　 B．y＝

C．x＝ D．x＝

3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)

A．(8,8) B．(8，－8)

C．(8，±8) D．(－8，±8)

4．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

三、新知探究

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线标准方程的几种形式

四、题型突破

题型一　抛物线的标准方程

[例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

反思感悟

求抛物线的标准方程的方法

[注意]　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程

跟踪训练

1．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________．

2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．

题型二　抛物线的定义及应用

[例2] (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．4 D．8

(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．

多维探究

1．若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．

2．若本例(2)中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．

反思感悟

抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．

(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题

题型三 抛物线的实际应用

[例3]　 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？

反思感悟

求抛物线实际应用的五个步骤

跟踪训练

3. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

五、达标检测

1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标的原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)

A．1　　　B.　　　C．2　　　D．3

2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x

B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x

D．y2＝2x或y2＝16x

3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_______

六、本课小结

1．对抛物线定义的理解

(1)定义条件：直线l不经过定点F.

(2)一动三定：

①“一动”，即动点P；

②“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线l的距离的比值是定值1.

2．抛物线标准方程的特点

(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于x，y的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项．

(2)参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p>0.p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．

(3)四种标准方程的位置的相同点：

①原点在抛物线上；

②焦点在坐标轴上；

③准线与焦点在原点两侧，且准线与其中一条坐标轴垂直．

参考答案

课前小测

1．答案：(1)×　(2)×

2．答案：D

3．答案：C

4．答案：y2＝8x

题型突破

[例1]　[解]　

(1) 由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p>0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，

设其方程为x2＝2py(p>0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，

∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.

(2) ①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，

∴抛物线的标准方程是y2＝8x.

②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

∴＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

跟踪训练

1．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.

答案：2　x＝－1

2．解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．

由抛物线的定义得|AF|＝＝5，

又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

[例2] [解析]　

(1) 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.

[答案]　A

(2) 解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，

所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，

而＝，所以p＝1,2p＝2，

故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．

多维探究

1．解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.

2．解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．

[例3]　 [解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．

设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，

则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，

所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.

若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，

y＝－×82＝－1.28，

即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．

而船体高为5米，所以无法通行．

又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，

150×7＝1 050(吨)，

所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．

跟踪训练

3. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，

所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．

答案：2

达标检测

1．答案：C

解析：因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p>0，所以p＝2.

2．答案：C

解析：焦点F的坐标为.设点M(x1，y1)，则由|MF|＝5得x1＋＝5①.又因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以可得线段MF的中点的纵坐标为2，由此可得y1＝4②，又因为点M在抛物线上，得y＝ 2px1③，将②代入③得x1＝＝，再代入①得＋＝5，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.

3．答案：6

解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝，则|AF|＝|AB|＝，所以＝sin，即＝，解得p＝6.