高中数学3.3 抛物线学案及答案

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这是一份高中数学3.3 抛物线学案及答案，共14页。学案主要包含了抛物线的定义，抛物线定义的应用，抛物线的实际应用问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．
导语
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
一、抛物线的定义
问题1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．
知识梳理
1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
知识梳理
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).
故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．
跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
答案 2 x＝－1
解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1.
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案 x2＝10y和x2＝－10y
解析设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 ∵eq \f(1,4)＋x0＝eq \f(5,4)x0，
∴x0＝1.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2).
延伸探究
1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．
解将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±eq \r(6).
所以点A在抛物线内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－eq \f(1,2)的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是eq \f(7,2).
即|PA|＋|PF|的最小值是eq \f(7,2).
2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋eq \f(7,2)＝0，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋－42))＝1.
即所求最小值为1.
反思感悟抛物线定义的应用
实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
答案 4
解析把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
三、抛物线的实际应用问题
例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3 某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.eq \f(a2,8h) B.eq \f(a2,4h)
C.eq \f(a2,2h) D.eq \f(a2,h)
答案 A
解析如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－h))，则eq \f(a2,4)＝2hp，解得p＝eq \f(a2,8h)，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝eq \f(a2,8h).
1．知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．
3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
1．抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程是( )
A．x＝eq \f(1,32) B．x＝eq \f(1,2)
C．y＝2 D．y＝4
答案 C
解析将y＝－eq \f(1,8)x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)
答案 C
解析由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，
则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故选C.
3．以双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
答案 y2＝16x
解析 ∵双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
∴右顶点的坐标为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则eq \f(p,2)＝4，即p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
答案 (－9,6)或(－9，－6)
解析由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
得其焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，
准线方程为x＝eq \f(p,2).
设点M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，
得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
课时对点练
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq \r(2))的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
答案 B
解析由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p> 0)，
则(－eq \r(2))2＝2p，
解得p＝1，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
2．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为( )
A．y2＝x B．x2＝8y
C．x2＝－8y D．y2＝－8x
答案 AC
解析若抛物线的焦点在x轴上，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以(－2)2＝2p×4，
解得p＝eq \f(1,2)，
所以抛物线的方程为y2＝x.
若抛物线的焦点在y轴上，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
3．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
答案 D
解析由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.
4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
答案 D
解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的顶点，
即为(－2,0)或(2,0)，
所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
答案 A
解析易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(42＋－32))＝2.
6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
答案 B
解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25) ，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，且一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则该双曲线的方程为___________．
答案 eq \f(x2,3)－y2＝1
解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，①
∵抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，
该双曲线的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，
∴c＝2，而c＝eq \r(a2＋b2)，
∴a2＋b2＝4，②
由①②，得a2＝3，b2＝1，
∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝________.
答案 8
解析如图，∠AFE＝60°，
因为F(2,0)，
所以E(－2,0)，
则eq \f(|AE|,|EF|)＝tan 60°，
即|AE|＝4eq \r(3)，
所以点P的坐标为(6,4eq \r(3))，
故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解 (1)双曲线方程可化为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且eq \f(－p,2)＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(p,2))).
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
10．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
由△AOB的面积为16，可得eq \f(1,2)·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
11．已知P为抛物线y＝x2上的动点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，B(1,2)，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D.eq \f(5,2)
答案 C
解析由题意知，A为抛物线的焦点．
设点P到准线y＝－eq \f(1,4)的距离为d，
则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，
故最小值为2＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4).
当PB垂直于准线时取最小值．
12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq \(FP,\s\up6(→))＝4eq \(FQ,\s\up6(→))，则|QF|等于( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2) C．3 D．2
答案 C
解析过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图．
∵eq \(FP,\s\up6(→))＝4eq \(FQ,\s\up6(→))，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ′|＝3.
13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________.
答案 6
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq \f(3,2)p＝6.
14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
答案 ②④
解析抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，
设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
15．已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析由抛物线的方程可知焦点F(0,3)，则准线方程为y＝－3，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点A，延长PA交准线于点B，设圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为点C.
根据抛物线的定义可得|PA|＝|PB|－|AB|＝|PF|－|AB|，
∴|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，
∴当|PA|＋|PQ|最小时，则|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之间)三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，
∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝eq \r(32＋42)－1＝4，
∴(|PA|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.
16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解 (1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|＋d最小，最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2eq \r(3)，
因为2eq \r(3)>2，所以点B在抛物线内部．
过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)