选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时练习

这是一份选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第2课时练习，共9页。试卷主要包含了若直线l，已知抛物线C，已知直线l1，已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。

二十八　抛物线方程及性质的应用

　　　　　　　　　　　　　　(15分钟　30分)
1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条　 B．3条　 C．2条　 D．1条
【解析】选B.当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)
A．2x－y＋3＝0　 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0　 D．2x－y－1＝0
【解析】选D.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切线方程为2x－y－1＝0.
3．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
【解析】选B.因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A． B．
C．(1，0) D．(2，0)
【解析】选B.将x＝2代入y2＝2px(p＞0)得y＝±2，由OD⊥OE得kOD·kOE＝－1，即·＝－1，得p＝1，所以抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为.
5．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，
所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，
方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝[－(3a＋2)]2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
解得a＝0或a＝－.
当a＝0时，原方程组有唯一解
当a＝－时，原方程组有唯一解.
综上实数a的取值集合是.

　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为(　　)
A．－3　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．－2
【解析】选D.因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1.
因为y1y2＝－1，
所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，
所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为.代入y＝x＋b，可得b＝－2.
2．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，P到其准线的距离为d，Q为圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上一个动点，d＋|PQ|的最小值是(　　)
A．5 B．4
C．2＋1 D．＋1
【解析】选B.点P是抛物线y2＝4x上的点，又点P到抛物线准线的距离为d，点P到圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的动点Q的距离为|PQ|，
由抛物线定义知：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，如图所示，连接圆心C与F，交圆于Q.
FC交抛物线的点即为使d＋|PQ|最小时P的位置，
所以d＋|PQ|的最小值为：|FC|－1，
因为C(－2，4)，F(1，0)，
所以|FC|＝＝5，|CQ|＝1，
所以d＋|PQ|的最小值为5－1＝4.

3．(2020·哈尔滨高二检测)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　)
A． B．3 C． D．2
【解析】选B.设点Q到l的距离为d，则|QF|＝d.
因为＝4，所以|PQ|＝3d.所以直线PF的斜率为－＝－2.因为F(2，0)，所以直线PF的方程为y＝－2(x－2)，与y2＝8x联立，得x＝1，x＝4(舍)，所以Q点横坐标为1，所以|QF|＝d＝1＋2＝3.
4．(2020·合肥高二检测)已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，·＝0(其中O为坐标原点).若＝＋，则直线OP的斜率的取值范围是(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
【解析】选D.如图，设A，B，
因为＝＋，则P，
又·＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋＝0，即x1x2＝－16，
设直线OP的斜率为k，则k＝＝＝＝＋，＝＋≥2＝2，
当且仅当＝，即＝4时等号成立，故k∈∪.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·济南高二检测)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点，则直线MN的斜率为定值
【解析】选BCD.因为抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，
所以p＝，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F，对于A，＝1＋＝，故A错误．对于B，kPF＝，
所以lPF：y＝，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以S△OPQ＝·＝××＝，故B正确．对于C，依题意知斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确．
对于D，依题意知斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得：ky2－y＋1－k＝0，
所以yM＋1＝，即yM＝－1，则xM＝2，
所以点M，
同理点N，
所以kMN＝＝＝－，故D正确．
6．已知抛物线C：y2＝2px的准线经过点M，过C的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝2
B．＋的最小值为16
C．四边形ADBE的面积的最小值为64
D．若直线l1的斜率为2，则∠AMB＝90°
【解析】选ABD.由题可知＝1，所以p＝2，故A正确．
设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－.
设A，B，D，E，直线l1：y＝k，直线l2：y＝－.
联立，消去y整理得k2x2－x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1.
所以＝x1＋x2＋p＝＋2＝4＋.
同理＝x3＋x4＋p＝＋2＝4＋4k2，
从而＋＝8＋4≥16，当且仅当k＝±1时等号成立，故B正确．
因为S四边形ADBE＝·
＝8≥32＝32，当且仅当k＝±1时等号成立，故C错误．
·＝·＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－＋1，将x1＋x2＝3，x1x2＝1与y1＋y2＝2，y1y2＝－4代入上式，得·＝0，所以∠AMB＝90°，故D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______．
【解析】由抛物线定义知P到准线l2：x＝－1的距离等于它到焦点(1，0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于焦点到l1的距离d＝＝2.
答案：2
8．(2018·全国Ⅲ卷)已知点M和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，
因为∠AMB＝90°，
所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
整理可解得k＝2.
答案：2
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
【解析】(1)因为F是椭圆C1的右焦点，且AB⊥x轴，
所以F(c，0)，直线AB的方程为x＝c，
联立，得＝1－＝，又因为
a2＝b2＋c2，所以y2＝2，解得y＝±，
则|AB|＝，
因为点F(c，0)是抛物线C2的焦点，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，联立，解得，
所以|CD|＝4c，因为|CD|＝|AB|，即4c＝，2b2＝3ac，即2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，

因为0 (2)由(1)知a＝2c，b＝c，椭圆C1的方程为＋＝1，
联立，消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝c或x＝－6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|＝c＋c＝＝5，解得c＝3.因此，曲线C1的标准方程为＋＝1，曲线C2的标准方程为y2＝12x.
10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8.
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，－3)，求直线l的方程．
【解析】(1)由抛物线定义，可得5＋＝8，
解得p＝6，所以抛物线C的方程为：y2＝12x.
(2)由(1)知，F(3，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x＝my＋3，
联立方程消去x，整理得y2－12my－36＝0，
则Δ＝144m2＋144＞0，且y1＋y2＝12m，y1y2＝－36.
因为以线段AB为直径的圆过点Q(0，－3)，
所以·＝0，即x1·x2＋(y1＋3)·(y2＋3)＝0，
所以x1x2＋3(y1＋y2)＋y1y2＋9＝0，
所以(my1＋3)(my2＋3)＋3(y1＋y2)＋y1y2＋9＝0，
所以(m2＋1)y1y2＋(3m＋3)(y1＋y2)＋18＝0，
－36m2－36＋36m2＋36m＋18＝0，
所以m＝.
所以直线l的方程为：x＝y＋3，
即2x－y－6＝0.
【创新迁移】
1．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
【解析】如图，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为点E，G，又过点B作BK⊥AE于点K交x轴于点H，

由＝3，可设||＝m，||＝3m，由抛物线的性质得，|AE|＝3m，|BG|＝m，|HF|＝2－m；
又由HF∥AE得＝＝，即＝，m＝，所以弦AB的中点到准线的距离为
(|BG|＋|AE|)＝|AB|＝×4m＝2×＝.
答案：
2．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的值；
(2)求证：·是一个定值．
【解析】(1)依题意得F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1).
设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得x2－3x＋1＝0，
所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
方法一：|AB|＝
＝×＝5.
方法二：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)由题意知l的斜率存在，故设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消去x，整理得y2－4ky－4＝0，
所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以·是一个定值．