高中数学3.1 椭圆优秀学案设计

3.1.2　椭圆的简单几何性质

【学习目标】

1．掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．

2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程．

3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P109～112，思考并完成以下问题

1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？

2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？

二、课前小测

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a(　　)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c(　　)

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆(　　)

2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．5,3，　　　　　　 B．10,6，

C．5,3， D．10,6，

3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

A.＋＝1 B．＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．

三、新知探究

椭圆的简单几何性质

四、题型突破

题型一　由标准方程研究几何性质

[例1]　 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

反思感悟

用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式；

(2)确定焦点位置；

(3)求出a，b，c；

(4)写出椭圆的几何性质．

[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．

跟踪训练

1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

题型二　利用几何性质求标准方程

[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是10，离心率是；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

反思感悟

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　

跟踪训练

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；

(2)过点(3,0)，离心率e＝；

(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．

题型三　求椭圆的离心率

[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.　　　 B.　　　　

C.　　　 D.

多维探究

1．将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．

2．将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．

反思感悟

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

五、达标检测

1．(辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

2．(河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)

A．           B．          C．            D．

3．(四川德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)

A．24            B．12             C．8             D．6

4．(湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A．(，1)                     B．(，)

C．(，1)                         D．(0，)

六、本课小结

(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置．在a>b>0时，方程＋＝1的焦点在x轴上，方程＋＝1的焦点在y轴上．

(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆＋＝1位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内．

(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下．

(4)椭圆是轴对称与中心对称图形，具体如下．

(5)椭圆的长轴和短轴都是线段，并不是直线，所以它们有长度，长轴长是2a，短轴长是2b.

(6)在椭圆中，a，b，c都具有实际的具体意义，其中，

a——长半轴长，b——短半轴长，c——半焦距．

它们之间的关系是a2－b2＝c2.

参考答案

课前小测

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．答案：B

3．答案：D

4．答案：

题型突破

[例1]　[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，

于是a＝9，b＝3，c＝＝6，

所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.

两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，

四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．

跟踪训练

1．解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；

(2)椭圆C2：＋＝1，

性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；

④焦点：(0,6)，(0，－6)；

⑤离心率：e＝.

[例2]　[解]　(1)设椭圆的方程为

＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．

由已知得2a＝10，a＝5.

又∵e＝＝，∴c＝4.

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

跟踪训练

2．解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，

由题意可知解得a＝5，b＝4.

因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)当椭圆的焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得a＝3，

因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，

所以椭圆的标准方程为＋＝1；

当椭圆的焦点在y轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得b＝3，

因为e＝，所以＝，

把b＝3代入，得a2＝27，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

综上可知，所求椭圆的标准方程为

＋＝1或＋＝1.

(3)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，

将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，

解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，

即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

[例3]  [解析]　法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.

法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．

[答案]　D

多维探究

1．解：在△PF1F2中，

∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，

∴∠F1PF2＝60°，

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，

则在△PF1F2中，有＝＝，

∴＝，

∴e＝＝＝＝.

2．解：由题意，知c>b，∴c2>b2.

又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，

∴e>.故C的离心率的取值范围为.

达标检测

1. 答案：C

解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

2. 答案：A

解析：A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝．故选A．

3. 答案：C

解析：∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C．

4. 答案：B

解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，∴－<cos∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，则<<，即<e<．故选B．