高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等比数列》教学设计
课时6数列求和的方法(二)
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等比数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等比数列及其前n项和公式的理解
2.等比数列和等差数列的综合应用与实际应用
3.数列与函数、不等式的综合应用
4.数列求和的方法的运用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等比数列的性质及应用
数学建模
数学运算
等比数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等比数列前n项和公式的性质及应用
数学建模
数学运算
数列求和的方法
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是对等比数列及其前n项和公式的研究与学习,主要介绍等比数列的概念、性质及应用、等比数列前n项和公式的性质及应用,与上一节知识《等差数列》的知识板块没有太大差别,只是多了一部分综合探究内容——《数列求和》,这部分内容也是高考重点,是数列这一章的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等比数列的前n项和公式,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.体会等比数列与指数函数的关系.能在一些具体情境中,综合等差数列与等比数列的知识解题,掌握几种常见的数列求和的方法.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式
4.等比数列前n项和公式的性质及应用
5.数列求和的方法
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养


二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力的,逻辑思维能力也初步形成,并且对于数列也有了基础的认识,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比,这是一种积极因素,应充分利用.但相比等差数列,等比数列中要注意的地方更多,比如说:等比数列的公比不能为零,等比数列的各项都不能为零等,这些细节学生容易忽略,也不注重分析比较等比数列与等差数列的不同之处.通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性,另外就数列求和这一部分知识来说,难度较大,在高考中多以综合解答题出现,所以方法理解掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等比数列的概念
2.等比数列的性质及应用
3.等比数列的前n项和公式、性质及应用
4.等比数列前n项和公式的综合应用
5.数列求和的方法（一）
6.数列求和的方法（二）
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并利用等比数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模、数学运算核心素养水平.
5.可以在较复杂的情境中,合理选用适合的数列求和方法,并能以等差等比的知识作为基础,解决一些复杂数列,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
与等差数列一样,等比数列在现实生活中也有广泛的应用,因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子（如购房房贷、人口增长等）,也可以让学生自己举一些实际生活中的例子,进一步培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.在实际教学中,可以让学生利用列表或导图的形式,自己对比等比与等差的不同,有利于培养学生的类比推理能力;教师也可以给学生分组,分组学习,组内活动,有利于培养学生的解决问题能力,充分调动情境教学、问题导入、先学后教等教学策略,提高学生自主探究的能力,更深刻的理解数列这两大模型——等差和等比的概念和应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等比数列的概念及其性质,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一,探索并掌握等比数列的通项公式,并会用公式解决一些简单的问题,体会等比数列与指数函数之间的联系.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,会用公式解决一些实际问题.
3.探索并掌握几种典型的数列求和的方法.
难点:
1.在具体的问题情境中,抽象出数列的模型和数列的等比关系,并用相关知识解决相应问题.
2.研究等比数列的结构特点推导出等比数列前n项和公式.
3.在不同的复杂数列情境下,合理选用求和及证明的方法.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,这一节课我们继续数列求和的分析和研究.在数列这一章,我们已经学完了两种数列模型,等差数列和等比数列,每一个模型都有其特定的通项公式、前n项和公式,并且有各自公式推导的方法,即倒序相加法和错位相减法.可是在实际做题上,往往都是没有明确类型的数列,那么如何准确快速地求出前n项和呢?我们来看今天学习的主要内容:裂项相消法、分组求和法、并项求和法,
【学生认真听讲,积极思考,教师引导学生记好笔记】
【先学后教】
教师启发学生解题思路,学生先自主独立思考,然后教师总结整理答案,先学后教,更能使学生对知识理解深刻.
教学精讲
【典型例题】
裂项相消法的应用
例1 等比数列的各项均为正数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
师:根据题意,首先判断数列类型,等比数列,所以第一问怎么求解?
生:求等比数列的通项公式,只需求,由两个条件式建立两个方程求解.设数列的公比为,由得,所以.由条件可知,故.由得,所以.故数列的通项公式为.
师:很好!已知数列的通项公式,第二问要求的是数列的前项和,所以我们需要清楚数列是什么?通项公式是什么?
【教师引导学生思考,动手演算,教师指定学生回答问题】
生:数列实际上是数列的前项和,而,所以数列是等差数列,其前项和.
师:完成得很好!其中需要注意到数列并非,而是数列的前项和,另外对数的计算公式同学们也要熟练.现在有了数列的通项公式,相当于数列的通项公式我们也就知道了.
【概括理解能力】
学生理解题目解题思路过程,总结方法,能对问题进行归纳概括,掌握基本形式和方法.
【典例解析】
裂项相消法的应用
解:(2)因为,所以,
而.
所以数列的前项和为.
师:数列它不是等差数列也不是等比数列,所以在求其前项和时就可以适当地选用方法,一定注意其中的哪个步骤属于裂项相消.接下来我们总结一下这种方法和其应用情境.
【深度学习】
先通过已知题目,总结解题套路,在学生对题型方法已有了一定认识之后,再深度理解、概括,加深印象.
【要点知识】
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
应用情境:对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.
常见形式:若为等差数列,公差为,则(1);
(2);(3);
(4);(5).
【以学定教】
教师总结裂项相消法的应用情境及常见形式,学生理解并学习应用,体现以学定教的教学策略.
师:理解了裂项相消法的解题思路和需要注意的地方之后,我们再练习一道题目.
【巩固练习】
裂项相消法的应用
已知等差数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
生:计算得出:(1)设公差为,由题意得解得∴.
(2),
∴.
师:裂项相消法是数列求和问题常考的一种方法,接下来我们再看一种分组转化求和法,在等差数列与等比数列综合题中比较常用.
【自主学习】
学生根据已知的裂项相消法的应用方法,结合题目自身特定,积极思考问题,独立解决问题.
【少教精教】
教师根据题目内容,从学生实际出发,以启发学生思维为核心,设置连环问题,教师少教,让学生多回答、多思考.
【典型例题】
分组转化法的应用
例2 已知数列.
(1)求其通项公式;
(2)求这个数列的前项和.
师:同学们,这又是一道数列综合题,首先求解第一问,观察规律,确定数列的通项公式.
生:注意观察数列的每一项可以发现,数列的第项依次为等比数列的前项和,所以.
师:很好,这里注意到这个数列的特点,我们要求该数列的前项和可先求通项,再依的特征可以选择求和方法.同学们,我们现在已学过的数列求和的方法都有哪些?
生:已知等差或等比,代入公式求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法.
师:通项公式,既不是等差数列也不是等比数列,可以怎么求和?在没有合适的方法的时候,就直接按照前项和的定义式展开即可.
【典例解析】
分组转化法的应用
解:(2).
师:观察得到,数列的通项公式是,虽然不能直接用等差数列的前项和公式或等比数列的前项和公式计算,但是里却蕴含着一个等比,一个等差,所以我们可以先分组转化再求和,这也就是这个方法的应用价值.接下来我们再总结一下这种方法和其应用情境.
【要点知识】
分组转化法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减.
应用情境:如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前项和可考虑拆项后利用公式求解.

【情境学习】
在特定的知识概念中,体会其间蕴含的数学道理,掌握分组转化法的应用情境.
师:理解了分组转化法的解题思路和需要注意的地方之后,我们再练习一道题目.
【巩固练习】
分组转化法的应用
各项均为正数的等比数列,数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
生:计算可得:(1)设公比为.∴.
∵当时,.
当时,满足上式,∴.
(2).
师:还有一种数列求和的方法,即并项求和法,在一些特定题目会用到,我们还是先用一道数列综合题目一起分析一下.
【分析计算能力】
通过分组转化法的学习.学生掌握相应地求和方法并能应用解决数列综合问题,提升了分析计算能力.
【典型例题】
并项求和法的应用
例3 已知数列的前项和的最小值为.
(1)确定的值,并求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
师:这道题目综合性较强,首先第一问就很值得我们大家去学习复习.这道题目我们通过一个活动去完成,全班分成两个小组,一个小组负责讲题,另一个小组则负责点评、找失误点或增加问题.先从第一问开始.
【学生被分成两组,组内积极讨论,认真计算】
生1:第(1)问是关于前项和的性质及应用问题.可以先对前项和式子进行配方,
由已知得,因为,当时,,故,所以.
因为,
所以,得.
生2:首先题目分类是正确的,的值及要求的通项公式结果都是正确的,但是过程中缺少条件,即对的讨论.应当改为:
因为,
所以,得,
又当时,,所以综上,.
其次追加一问,可以判断数列是什么数列吗?
生1:可以判断,是等差数列,通过给定的前项和公式或者由求出的通项公式都可以判定.
师:两组同学完成得都非常棒!解题过程严谨、完善,追加问题有意义,值得探讨!这道问题的第(1)问要注意,只要涉及前项和公式和通项公式相关的问题,都要严格对进行分类谈论,主要是验证当时是否成立;另外对于等差数列、等比数列,大家要知道其通项公式、前项和公式或等差中项、等比中项除了其自身求值作用之外,还有一个作用就是验证数列是否为等差数列或等比数列.明确了第(1)问的注意点之后,我们再来看第问.数列很显然是一个摆动数列,怎样求其前项和呢?
【以学论教】
教师根据题目内容,设置小组点评互学机制,以学生为中心,组内交流讨论,以学论教.
【活动学习】
学生在班级活动中参与学习,组内交流探讨,对知识加深理解,对方法加强巩固.
【典例解析】
并项求和法的应用
解:(2)由题意可知,,所以.
师:用这种方法解题时,要注意奇偶项之分,注意观察数列本身的规律.那我们一起来具体看一下这种方法的含义以及应用情境．
【深度学习】
通过例题的讲解,归纳总结出并项求和法,以及应用情境.使学生在深度学习的气氛中理解解题方法.
【要点知识】
并项求和法
一个数列的前项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并求解.例如,.
【简单问题解决能力】
利用所学方法进行规律性题目的训练,建立数学模型,掌握解题方法.锻炼简单问题解决能力.
师:这种方法只是在特定题目中会用到,比如含有的这种形式的,同学们做题时加以区分就好.接下来再练习一道作为巩固理解.
【巩固练习】
并项求和法的应用
已知数列中,,且.
(1)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(2)当时,求数列的前2020项和.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视检查】
生:计算得到:(1)∵,
∴,
∴①当时,,故数列不是等比数列;
②当时,数列是等比数列,其首项为,公比为3.
(2)由(1)且当时,,即,


.
【概括理解能力】
通过并项求和法例题的应用求解,概括总结出相关概念,提升学生的概括理解能力.
师:下面我们来总结下本节课所学内容.
【课堂小结】
数列求和的方法(二)
1.裂项相消法.
2.分组转换法.
3.并项求和法.
【设计意图】
通过本节课的学习,学生掌握了用裂项相消法、分组转化法、并项求和法在特定的应用情境中解决问题.培养了概括理解、分析计算、简单问题解决能力,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列和等比数列多会综合出题,要利用已知数列的性质,结合适当的方法处理问题.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知等比数列的前项和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解法一:∵为指数型函数,由上述结论,得.
解法二:当时,;当时,.
∵是等比数列,∴时也应适合,即,解得.
答案:C
2.已知为数列的前项和,且满足.
(1)证明:为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求.
解析:(1)证明:当时,,故,得.时,原式转化为,即,所以,所以是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,所以,于是.
【设计意图】
教师引导学生整理等差数列与等比数列知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力,提升学科核心素养.
教学反思
学完本节课,我们应该理解等比数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等比数列的性质,单调性及对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解错位相减法.理解并掌握数列求和的几种常用方法,并能在不同的问题情境中合理选取适当的方法.
【以学定教】
理解等比数列的概念及其性质和应用,掌握数列求和的不同方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.