高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第1课时学案

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4．3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的定义与通项公式
(教师独具内容)
课程标准：1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．
教学重点：等比数列的概念；等比数列的通项公式．
教学难点：等比数列通项公式的推导过程.




知识点一　等比数列的定义
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.
知识点二　等比数列的通项公式
1．等比数列的通项公式
(1)an＝a1qn－1式中，a1为首项，q为公比．
(2)an＝amqn－m式中，am为任意一项．
2．等比数列通项公式的推导
由等比数列的定义得：＝q，＝q，…，＝q，把这(n－1)个等式相乘得：an＝a1qn－1.
3．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1可以改写为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．反之，任给指数函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.

1．有关等比数列的定义应注意的问题
(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义．
其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序，即后面的项比前面的项；第二，强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．
2．判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法
＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法
a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．
(3)通项公式法
an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．
3．等比数列与指数函数的关系
等比数列{an}即中的各项所表示的点(n，kqn)离散地分布在函数f(x)＝k·qx(x∈R)的图象上，即等比数列{an}的图象是函数f(x)＝·qx(x∈R)图象上的一群孤立的点．所以可以借助指数函数f(x)＝qx(q>0且q≠1)的性质来研究等比数列．
4．由等比数列的任意两项可求公比
若已知等比数列{an}中的任意两项an，am，由an＝am·qn－m可以求得公比q＝

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，－1,1，－1是等比数列．(　　)
(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列．(　　)
(3)若an＝则数列{an}是等比数列．(　　)
(4)等比数列至少有3项．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)等比数列1,5,25,125，…的通项公式为________.
(2)等比数列－，－，－，…的公比为________.
(3)在等比数列{an}中，已知an＝4n－3，则a1＝________，q＝________.
(4)已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.
答案　(1)an＝5n－1　(2)　(3)　4　(4)±3



题型一 等比数列的概念
例1　观察下面几个数列：
(1)1,1,2,4,8,16,32,64；
(2)数列{an}中，已知＝2，＝2；
(3)常数列a，a，…，a，…；
(4)在数列{an}中，＝q，其中n∈N*.
其中是等比数列的是________(只填序号)．
[解析]　(1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列；(2)不一定是等比数列，当数列{an}只有3项时，数列{an}是等比数列，当数列{an}的项数超过3项时，不一定符合等比数列的定义；(3)不一定是等比数列，当常数列的各项都为0时，它不是等比数列，当常数列的各项不为0时，是等比数列；(4)是等比数列．
[答案]　(4)

判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数，且不等于0)．
[跟踪训练1]　设数列{an}为等比数列，q为公比，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．
其中是等比数列的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　对于①，因为＝3＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；
对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；
对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；
对于④，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列；当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．
故是等比数列的有3个．应选C.
题型二 等比数列的通项公式及应用
例2　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解]　(1)解法一：因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.
(2)解法一：由题意，知

由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.
解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.

等比数列通项公式的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练2]　(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
(2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
解　(1)由已知得解得
∵an>0，∴
∴an＝128×n－1＝n－8.
(2)由an＝a1qn－1，得＝×n－1，
即n－1＝3，解得n＝4.
题型三 等比中项
例3　(1)等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________；
(2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________.
[解析]　(1)由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，
得a1＝d，∴＝＝.

(2)由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，设此数为G，则G2＝ab，∴G＝±.
若a，b为正数，则G＝，即正中间的一个数是；
若a，b为负数，则G＝－，即正中间的一个数是－.
[答案]　(1)　(2) 或－

涉及到等比数列中三项问题，我们一般都考虑使用等比中项，来确定各项之间的关系．
[跟踪训练3]　已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是(　　)
A．1或 B．1或－
C．1或 D．1或－
答案　D
解析　由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
从而有或
因此的值为1或－.
题型四 等比数列的判定与证明
例4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.证明：数列{an＋1}是等比数列．
[证明]　因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
[变式探究]　本例中若将“an＋1＝2an＋1”改为“an＋1＝2Sn＋1”(其中Sn为数列{an}的前n项和)，其他条件不变，试判断数列{an}是否为等比数列？
解　∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝2an，
即an＋1＝3an(n≥2)，
又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，∴a2＝3a1，
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．

1．等比数列的判定或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明．
3．对形如an＋1＝can＋b(n∈N*，b，c≠0，且c≠1，b，c为常数)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋＝c，从而构造一个等比数列，通过求该等比数列的通项公式可得an.证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里采用了转化与化归的策略．
[跟踪训练4]　在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解　(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝.
故数列{an}是公比为的等比数列．
又a2a5＝，则a1q·a1q4＝，
即a·5＝3，
由于数列各项均为负数，则a1＝－，
∴an＝－×n－1＝－n－2.
(2)设an＝－，由等比数列的通项公式得
－＝－n－2，即4＝n－2.
由指数函数的性质，有4＝n－2，即n＝6.
因此－是这个等比数列中的第6项．



1．下列各组数成等比数列的是(　　)
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
答案　C
解析　由等比数列的定义，知①，②，④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
2．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于(　　)
A．±4 B．4
C．－4 D．16
答案　B
解析　∵a9是a3和a15的等比中项，∴a9＝± ＝±4.∵在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，∴a9＝＝4.
3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．等比数列中的某一项可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
答案　BC
解析　对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选BC.
4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a＝________，an＝________.
答案　5　4×n－1
解析　由题意，知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×n－1.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
解　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
故a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2021＝8a2018，则公比q的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
答案　A
解析　∵a2021＝8a2018，∴q3＝＝8，∴q＝2.
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为(　　)
A．180 B．200
C．128 D．162
答案　B
解析　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式a2n＝2n2.则此数列的第20项为2×102＝200.故选B.
3．已知m,2m＋2,3m＋3是等比数列的前3项，则第4项是(　　)
A．－27 B．－
C． D．12
答案　B
解析　由题意，知(2m＋2)2＝m(3m＋3)，可解得m＝－1(舍去)，m＝－4，∴公比q＝，∴a4＝－.
4．一个各项均为正的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比q等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　由题意有an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，而an≠0，∴q2＋q－1＝0，∴q＝，而an>0，∴q>0，∴q＝.
5．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．{an－n}是等比数列
B．an＝4n－1
C．{log2(an－n)}是等差数列
D．{log4an}是等比数列
答案　AC
解析　对于A，由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；对于B，由上可知an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，故B错误；对于C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列，故C正确；对于D，log4an＝log4(4n－1＋n)既不是等差数列，又不是等比数列，故D错误．故选AC.
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a1＝2，公差为d，且a2，a3，a4＋1成等比数列，则d＝________.
答案　2
解析　等差数列{an}中，a1＝2，公差为d，且a2，a3，a4＋1成等比数列，可得a＝a2(a4＋1)，
即为(2＋2d)2＝(2＋d)(2＋3d＋1)，
化为d2－d－2＝0，解得d＝2或－1，
若d＝2，即有4,6,9成等比数列；
若d＝－1，即有1,0,0不成等比数列．
则d＝2成立．
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则数列{an－1}是________数列(填“等差”或“等比”)，数列{an}的通项公式an＝________.
答案　等比　2n－1＋1
解析　根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an－1，即an＋1－1＝2(an－1)，又由a1＝2，则a1－1＝1，则数列{an－1}是以a1－1＝1为首项，2为公比的等比数列，则an－1＝1×2n－1＝2n－1，则an＝2n－1＋1.
8．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则{bn}是________.
答案　首项为，公比为的等比数列
解析　由题设＝，∴数列{an}是等比数列，公比为，∴an＝2·n－1，bn＝(an＋an＋1)＝＝·n－1.
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．
三、解答题
9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.
解　∵{an}是等差数列，
∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d.
又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，
∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，
解得d＝2a1，
∴a5＝9a1，a8＝15a1.
设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝，
又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3，
∴bn＝3·n－1.
10．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
解　(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)．
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，
即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，
解得q1＝－2或q2＝1(舍去)．
所以q＝－2.
(2)证明：对任意k∈N*，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，
所以对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
B级：“四能”提升训练
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，说明理由．
解　(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列，
则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，
即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
∴{an＋3}的首项为a1＋3＝6，公比为＝2.
∴an＋3＝6×2n－1，∴an＝6×2n－1－3.
2．设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n.
(1)求a3，a4；
(2)证明：{an＋1－2an}是等比数列；
(3)求{an}的通项公式．
解　(1)∵a1＝S1，S1＝2a1－2，∴a1＝2，S1＝2.
由Sn＝2an－2n，即2an＝Sn＋2n知
2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1，
∴an＋1＝Sn＋2n＋1.①
∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8，
a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24，
a4＝S3＋24＝40.
(2)证法一：由题设和①式知
an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n.
∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
证法二：由Sn＝2an－2n，②
得Sn＋1＝2an＋1－2n＋1.③
③－②得an＋1＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n，
即an＋1－2an＝2n.
∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
(3)由(2)知an＋1－2an＝2n，
等号两端同时除以2n＋1，得－＝，
∴数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)，
即an＝(n＋1)·2n－1.