高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 §5.1 第2课时　导数的几何意义(含解析)

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第2课时　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

知识点一　导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点二　导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
特别提醒：

区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数


1．函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．(　√　)
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　√　)
3．函数f(x)＝0没有导数．(　×　)
4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　×　)

一、求切线方程
例1　已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解　因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
反思感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤

跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案　－3
解析　∵y′|x＝2＝
＝
＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
二、求切点坐标
例2　过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解　f′(x)＝
＝ ＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
反思感悟　求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练2　已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解　对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝ ＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝
＝ ＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或x0＝－.
经检验，均符合题意．
三、利用图象理解导数的几何意义
例3　已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)

A．0 B．0 C．0 D．0 答案　C
解析　kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0 反思感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)

答案　A
解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．

过某点的曲线的切线
典例　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
[素养提升]　(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0))．
②建立方程f′(x0)＝.
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．

1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　)
A．4 B．－4 C．－2 D．2
答案　D
解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.
2．(多选)下面说法不正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案　ABD
解析　根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
答案　C
解析　f′(x)＝ ＝9 ＝－9 ＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案　(3,30)
解析　令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
5．已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________．
答案　(2,3)　－5
解析　设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝ ＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝(舍去)．
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
因此切点坐标为 (2,3)，a的值为－5.

1．知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)导函数的概念．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、数形结合．
3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．


1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案　B
解析　因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16 C．8 D．2
答案　C
解析　k＝y′|x＝2＝ ＝8.
3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案　A
解析　设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　)

答案　D
解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)
答案　BC
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
则＝
＝3x－2＝tan ＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
答案　3
解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
答案　2
解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
8．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为______．
答案　－1
解析　 ＝
＝f′(1)＝－1.
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解　y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解　因为y′＝
＝ ＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.

11．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝＝
＝ ＝1－<1.
即k<1.
12．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________.
答案　1　2
解析　由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝ ＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2.
13．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案　
解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝
＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案　4
解析　y′＝ ＝2x－1，
在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.
因为点P的横坐标是－2，
所以点P的纵坐标是6＋c，
故直线OP的斜率为－，
根据题意有－＝－5，解得c＝4.


15．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
答案　y＝0或3x－y－2＝0
解析　设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝ ＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解　设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.