高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 再练一课(范围：§5.3)(含解析)

再练一课(范围：§5.3)

1. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．

故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.

2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)

A．－1  B．0  C．－  D.

答案　C

解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，

解得x1＝，x2＝－(舍去)．

当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：

所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.

3．设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的增函数，则m的取值范围是(　　)

A．[－6，＋∞)   B．{6}

C．{－6}   D．(－∞，6]

答案　B

解析　由题意得，f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在R上恒成立，

所以Δ＝(2m)2－4×12×(m－3)≤0，

即(m－6)2≤0，解得m＝6.

4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A．f(b)>f(c)>f(d)

B．f(b)>f(a)>f(e)

C．f(c)>f(b)>f(a)

D．f(c)>f(e)>f(d)

答案　C

解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，

因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，

由于a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．

5．(多选)已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调区间为(　　)

A．(－∞，0)   B．(0,2)

C．(2，＋∞)   D．(－∞，＋∞)

答案　ABC

解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，

∴即

令f′(x)＝3x2－6x<0，则0<x<2，函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．

令f′(x)＝3x2－6x>0，则x<0或x>2，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．

6．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.

答案　2

解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.

又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，

f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，

∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，

∴m＋＝，∴m＝2.

7．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________________．

答案　

解析　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a,2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.

8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．

则下列说法中正确的是________(填序号)．

①函数y＝f(x)在区间上单调递增；

②函数y＝f(x)在区间上单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)上单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值；

⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．

答案　③④

解析　由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2,4)，单调递增区间为(－2,2)，(4，＋∞)，故③④正确．

9．今年某公司计划按200元/担的价格收购某种农产品，同时按要求以10%的税率纳税．现计划收购a万担，若将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)将税率作怎样的调整，才能使税收取得最大值(要求应用导数知识完成)?

解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．

依题意，得

y＝200a(1＋2x%)·(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)

＝－ax2－ax＋20a.

(2)由(1)，得y′＝－ax－a.

令y′＝0，解得x＝－20.

当x＝－20时，y取最大值．因此，只有将税率增加20个百分点，才能使税收取得最大值．

10．已知函数f(x)＝x2＋ln x(a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求f(x)的极值．

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x，

f′(x)＝x＋＝，

当x∈[1，e]时，有f′(x)>0，

∴f(x)在区间[1，e]上单调递增，

∴f(x)max＝f(e)＝1＋，f(x)min＝f(1)＝.

(2)f′(x)＝(2a－1)x＋＝(x>0)．

①当2a－1≥0，即a≥时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)无极值．

②当2a－1<0，即a<时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可知，当x＝时，

f(x)极大值＝－－ln(1－2a)，无极小值．

11．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(0,4e2)   D．(0，＋∞)

答案　B

解析　令g(x)＝x2ex，

则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．

令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，

∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．

∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，

又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则0<a<.

12．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，e2－2)   B．(－∞，e2－2]

C．(－∞，1)   D．(－∞，1]

答案　B

解析　由f(x)－m≥0得f(x)≥m，

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－＝，

当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，

此时，函数f(x)单调递增，

所以f(1)≤f(x)≤f(e)．

即1≤f(x)≤e2－2，

要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，

则有m≤e2－2.

13．若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为________．

答案　e

解析　不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f(x)＝ex－kx≥0恒成立，即有f(x)min≥0.

f′(x)＝ex－k，

当k≤0时，可得f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，无最小值．

当k>0时，x>ln k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x<ln k时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

即当x＝ln k时f(x)取得最小值，

即为k－kln k，由k－kln k≥0，

解得0<k≤e，即k的最大值为e.

14．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案　[1，＋∞)

解析　由f(x)>1，得ax－ln x>1，

∵x>1，∴原不等式转化为a>，

设g(x)＝，得g′(x)＝，

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，

则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，

则g(x)<g(1)＝1，

∵a>在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥1.

15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．

答案　(－1,0)∪(1，＋∞)

解析　令g(x)＝(x≠0)，

则g′(x)＝.

∵当x>0时，>0，即g′(x)>0，

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，

∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．

∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，

∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．

g(x)<0的解集为(－1,0)．

由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0)．

又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，

∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．

16．已知函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的极大值；

(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；

(3)若x2＋5x＋5－aex≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝，

当x<－3时，f′(x)<0，当－3<x<0时，f′(x)>0，

当x>0时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，在(0，＋∞)上为单调递减，

因此函数f(x)在x＝0处有极大值f(0)＝5.

(2)由(1)得，函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，

所以当x∈(－∞，0]时，函数f(x)在x＝－3处有最小值f(－3)＝－e3.

(3)由题意知a≤＝f(x)．

由(2)得，函数f(x)在区间(－∞，0]上有最小值－e3.

又当x>0时，f(x)>0，

所以函数f(x)在定义域内的最小值为－e3，

所以a≤－e3，

即a的取值范围为(－∞，－e3]．