高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 §5.1 第1课时　变化率问题和导数的概念(含解析)

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§5.1　导数的概念及其意义 第1课时　变化率问题和导数的概念 学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 知识点一　瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt). 知识点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　×　) 2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　) 3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．(　√　) 4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝ eq \f(fx－fx0,x－x0).(　√　) 一、函数的平均变化率 例1　(1)函数y＝eq \f(1,x)从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．－2 D．2 答案　B 解析　平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,2)－1,2－1)＝－eq \f(1,2). (2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq \f(Δy,Δx)的值为(　　) A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 答案　B 解析　∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－0.11,0.1)＝－1.1. (3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\to(v)1，eq \x\to(v)2，eq \x\to(v)3，则三者的大小关系为__________________． 答案　eq \x\to(v)1<eq \x\to(v)2<eq \x\to(v)3 解析　由平均变化率的几何意义知：eq \x\to(v)1＝kOA，eq \x\to(v)2＝kAB， eq \x\to(v)3＝kBC，由图象知：kOAs1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误． 12．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 答案　B 解析　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好． 13．设函数f(x)可导，则eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.eq \f(1,3) f′(1) D．f′(3) 答案　C 解析　eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3)eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1,3) f′(1)． 14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 答案　[x3，x4] 解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为eq \f(fx2－fx1,x2－x1)，eq \f(fx3－fx2,x3－x2)，eq \f(fx4－fx3,x4－x3)， 结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq \f(28π,3)，则m的值为________． 答案　2 解析　体积的增加量ΔV＝eq \f(4π,3)m3－eq \f(4π,3)＝eq \f(4π,3)(m3－1)， 所以eq \f(ΔV,ΔR)＝eq \f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq \f(28π,3)， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)． 16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.)) 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体在t＝1时的瞬时速度． 解　(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2) ＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(48,2)＝24 m/s. 即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s. (2)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(f1＋Δt－f1,Δt) ＝eq \f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12， 所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为 eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) (3Δt－12)＝－12， 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.