专题10 空间角、距离的计算——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

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专题10 空间角、距离的计算


（一） 点到平面的距离
定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.
（二） 直线与平面间的距离
定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离.
（三）平行平面间的距离
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.
（四）直线与平面所成的角
1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°].
（五）二面角
（1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

（2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角.
（3）范围：[0，π]
（4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q

（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角

题型一 点到平面距离的计算
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.
【答案】
【分析】根据正方体的性质，结合正四面体的性质进行求解即可.
【详解】在棱长为1的正方体中，
，如图所示，
设点在平面的射影为，
因为，
所以有，
故答案为：

【典例2】（2023·河南新乡·统考二模）如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，．

(1)证明：平面BCD．
(2)求点D到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定，根据相似得到，得到线面垂直.
（2）计算，，再根据等体积法计算得到距离.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，故，
，，平面，故平面，
平面，．
因为，，所以．
又D是的中点，，所以，所以，则．
因为，平面BCD，所以平面BCD．
（2）．
，
所以．
设点D到平面的距离为d，由，得，
解得，即点D到平面的距离为．
【总结提升】
1.利用垂直关系，构造直角三角形；
2．利用“等积法”．
题型二 直线与平面间距离的计算
【典例3】（2023·高一课时练习）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离．

【答案】
【分析】根据已知得出，即可得出平面，即可求出点到平面的距离，根据平面，得出到平面的距离即A到平面的距离，即可得出答案.
【详解】连接BD、AC，

为正方体，
四边形ABCD为正方形，
，
，，
平面，
到平面的距离为，
平面，
到平面的距离即A到平面的距离，
棱和平面的距离为.
【典例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.

(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面之间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，可证得四边形为平行四边形，由此可得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面平行关系可知所求距离即为点到平面的距离，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）连接交于点，连接，

，，四边形为平行四边形，
，，
四边形，为平行四边形，分别为中点，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，
，为边长为的等边三角形，
；
又，，
设点到平面的距离为，
则，解得：，
直线与平面之间的距离为.
【总结提升】
1. 利用图形特征，找出或作出表示距离的线段；
2. 转化成点到平面的距离问题．
题型三 平行平面间距离的计算
【典例5】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面之间的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接分别交、于点、，则为的中点，且，证明出平面，平面，可知线段的长度等于平面与平面之间的距离，即可得解.
【详解】（1）证明：因为、分别为、的中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
因为，，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面．
又因为，所以平面平面．
（2）解：连接分别交、于点、，则为的中点，且，

因为平面，平面，，
又因为，，平面，
因为平面平面，所以，平面，
所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，
因为、分别为、的中点，则且，
且有，则，
因为正方体的棱长为，所以，
即平面与平面之间的距离为．
【典例6】（2023春·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长均为1.
(1)求到平面的距离；
(2)求平面与平面之间的距离.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设到平面的距离为，由，即可求出答案.
（2）先判断平面平面，到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为.再由即可求出答案.
【详解】（1）如图：

设到平面的距离为，正方体的棱长均为1，
且面.
,.
               

.
（2）

平面,平面.
故平面平面.
到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为.

即.
.
【总结提升】
转化成线面距离或点面距离计算问题.
题型四 直线与平面所成角（函数值）的计算
【典例7】（2023·江苏·二模）已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．

(1)求证：
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先利用线面垂直判定定理证得平面，再由线面垂直性质得证；
（2）先利用线面垂直判定定理证得，可得为直线与平面所成角的平面角，从而得解．
【详解】（1）已知矩形，沿，将和翻折，使点重合，记为点，
可得，
取的中点，连接，
，，
，，
又，，，
平面，
，
；

（2），，
，，
又四边形为矩形，，
，
，
为直线与平面所成角的平面角，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【典例8】（2023秋·黑龙江双鸭山·高二校考期末）如图，已知平面平面，，．

(1)连接，求证：；
(2)求与平面所成角的大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：延长CB到E，使，连接EA、ED，不妨设，证明和，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得到；方法二：连接AD，取AD中点M，连接MB，MC，利用等腰三角形三线合一，证明和，利用线面垂直的判定得到平面MBC，再利用线面垂直的性质即可得到；
（2）寻找在平面内投影，即为直线与平面成角，求解即可.
【详解】（1）证明：方法一：延长CB到E，使，连接EA、ED，不妨设，

又因为，由余弦定理得，
因为，所以，
同理，，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，即；
方法二：连接AD，取AD中点M，连接MB，MC，

因为，，，所以，
所以，所以，
又，所以，
又因为，所以平面MBC，
又因为平面MBC，所以.
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，，

因为平面平面，所以，即，
因为，所以平面，
所以为在平面内的投影，于是为与平面所成角，
因为，，所以，
故AD与平面BDC所成角的大小.
【总结提升】
求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
题型五 二面角（函数值）的计算
【典例9】（2023·江西南昌·统考一模）已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，通过证明得平面；
（2）方法一：取的中点，证明为二面角的平面角，在三角形中求；
方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面ACE的法向量，用空间向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接交于点，连接，

在直四棱柱中，
所以四边形为平行四边形，即，
又因为底面为棱形，所以点为的中点，点为的中点，即点为的中点，
所以，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）方法一：取的中点，连接，，，

在直棱柱中平面，所以，
又因为，，所以平面，
又平面，所以
因为在中，，且点为的中点，所以，
又，而点为的中点，所以，
又，所以平面，
又平面，即，
则为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中，，又，
在直角三角形中，
所以，
即二面角的余弦值为.
【典例10】（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试数学试题）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．

(1)求证：；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点为，连接，由正四面体的性质得，再由线面垂直的判定及性质证明结论；
（2）取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知为所求二面角的平面角，进而求其正弦值.
【详解】（1）如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，

因为△是边长为3的正三角形，，则面，
又与平面所成角的余弦值为，
所以，即，即三棱锥是正四面体，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）如图所示，

取中点为，连接，
由（1）知：三棱锥是正四面体，则，
所以二面角的平面角为，
另一方面，，
所以由余弦定理得，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值．
【规律方法】
1.求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．

如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．

题型六 空间基本图形的综合问题
【典例11】（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）如图1，在直角三角形中，为直角，在上，且，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，如图2.

(1)若平面平面，求证:；
(2)若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由题意知，由面面垂直的性质定理可得平面，进而可得；
(2) 作所在的直线于点,由题意可得知，所以平面，即可得平面平面，作于点，连接，进而可得为二面角的平面角，设，则，设，则，进而可得，解得，再由，计算即可得答案.
【详解】（1）证明：由题意知，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，
所以；
（2）解：由题意知，
平面平面
因而平面，
又平面，因而平面平面.
如图，作所在的直线于点，
又平面平面，平面，所以平面.

作于点，连接，
则为二面角的平面角，
设，则，
在中，，
所以，
设，则，
因而，
在直角三角形中，，即，
解得或（舍去），此时，
从而.
【典例12】（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)存在，与点重合时，满足题意.
【分析】(1)由题意可证明和，即可证明平面平面；
(2)先找出二面角，再转化到三角形中解三角形即可；
(3)存在点，运用等体积法验证即可说明.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
又为边长为2的正三角形，为中点，
所以，

所以平面，
平面，
所以①,
又，
所以，
所以，
所以，
所以(为与的交点)，
所以②，
又因为③,
由①②③可得平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：设,过作于，连接,

因为平面，
平面，
所以，
又因为，
，
则平面,
平面,
所以，
所以为平面和平面夹角，
在中，,
在中，，
所以，
所以中，,
所以；
（3）当点与点重合时，点到平面的距离为，
取中点，连接,

则∥，
所以四点共面，
又平面，
平面，
所以，
又，
,
所以平面，
设点到平面的距离为，
又,
即,
即,
所以，
解得.
故在线段存在点（端点处），使点到平面的距离为.

一、单选题
1．（2023·甘肃武威·统考一模）在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解.
【详解】依题意，可得如图：

设底面的中心为，
易得平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，
所以平面，连接，
则为与平面所成的角.
因为，
所以.
所以.
故选：A.
二、多选题
2．（2022·高一单元测试）在棱长为的正方体中，下列结论正确的是（    ）
A．异面直线与所成角的为
B．异面直线与所成角的为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．二面角的大小为
【答案】ACD
【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB选项；利用线面角的定义可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.
【详解】如下图所示：

对于A选项，，则与所成的角为，A对；
对于B选项，，所以，与所成角为或其补角，
因为，，，，
则，所以，，故，B错；
对于C选项，平面，故直线与平面所成角为，
平面，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为，C对；
对于D选项，平面，、平面，则，，
所以，二面角的平面角为，D对.
故选：ACD.
3．（2023·江苏·二模）已知是棱长均为的三棱锥，则（    ）
A．直线与所成的角
B．直线与平面所成的角为
C．点到平面的距离为
D．能容纳三棱锥的最小的球的半径为
【答案】ACD
【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断各项正误即可．
【详解】A：若为中点，连接，由题设知：各侧面均为等边三角形，

所以，，面，则面，
又面，故，正确；
B：若为面中心，连接，则面，面，
所以直线与平面所成的角为，且，而，
故，显然不为，错误；
C：由B分析，即该正棱锥的体高为，故到平面的距离为，正确；
D：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为，则，
所以，正确.
故选：ACD
4．（2023·全国·模拟预测）在长方体中，若直线与平面所成角为45°，与平面所成角为30°，则（    ）．
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角为30°
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】由题意，，设，则，，即可判断A；由可知 或其补角为直线与所成角，利用余弦定理求解可判断B；由题可知直线与平面所成角为，又，，求出可判断C；设点到平面的距离为h，由利用等体积法求出，再利用线面角的定义求解可判断D．
【详解】对于A：如图，设，连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，

连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，
在中，，∴，故A错误；
对于B：易知，∴或其补角为直线与所成角，
易知，，，∴，故B正确；
对于C：连接，由平面，可知直线与平面所成角为，
又，，∴，故C正确；
对于D：易知，设点到平面的距离为h，
则，取的中点E，连接BE，
由勾股定理可得，∴，∴，
设直线与平面所成角为，则，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
5．（2023春·全国·高一专题练习）过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．
【答案】
【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.
【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：

连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，
由题可知平面，平面，
∴，，又平面和平面，平面，平面，
∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.
故答案为：.
6．（2023·高一课时练习）已知平面平面，点，，点，，若，且、在内射影长分别为5和16，则与间距离为______．
【答案】12
【分析】首先设 ，，结合平行平面距离的定义由条件列方程求解.
【详解】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意可知，， ，
设 ，，
则 ，解得：，
平面与平面间的距离

故答案为：12.
7．（2023·全国·高一专题练习）如图的四面体中，所以棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为______.

【答案】
【分析】由题意得，四面体为正四面体，进而可以证明平面，求出线面角.
【详解】
如图，连接，
由题意得，四面体为正四面体，
所以，，
因为与点，平面，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角的大小为.
故答案为：.
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体的棱长为1．

（1）点到平面的距离为______；
（2）直线和平面的距离为______；
（3）直线和平面的距离为______．
【答案】     1     1     ##
【分析】（1）由平面即可作答；（2）（3）证明线面平行即可计算作答.
【详解】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为；
（2）在正方体中，连接，如图，

，，则四边形是平行四边形，有，
而平面，平面，则有平面，
于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离，
因平面，则点到平面的距离为，
所以直线和平面的距离为1；
（3）在正方体中，连接，，
而平面，平面，则平面，
因此直线和平面的距离等于点到平面的距离，
连，由正方形得，而平面，平面，
因此，因，平面，则平面，而，
所以直线和平面的距离为.
故答案为：1；1；
9.（2022·全国·高一专题练习）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.

【答案】##
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知

因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，
设，，根据正弦定理
当时遮阴影面面积最大，此时
故答案为：
10．（2023·高一课时练习）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为______．
【答案】##
【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得．
【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形，
∴，同理，
分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，
平面，平面，∴平面，同理平面，
又，平面，∴平面平面，
由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，
因此，
正方体棱长为4，则对角线，，
平面，是在平面内的射影，，平面，
∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，
∴平面与平面的距离为，
而平面，平面，且与是异面直线，
所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，
故答案为：．

11．（2021春·重庆渝中·高一重庆复旦中学校考期末）正方体的棱长为2，则平面与平面所成角为______；平面与平面的距离为______.
【答案】         
【分析】①根据二面角的定义，结合图形可知即为平面与平面所成角，在中，可求得；
②结合图形可证平面平面，故要求平面与平面的距离，可转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可.
【详解】
①如图1，在正方体中，因为平面，平面，所以，
又，所以即为平面与平面所成角,
又平面与平面为同一平面，，
所以平面与平面所成角为.
②如图2，因为，又，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面，所以平面平面，
所以平面与平面的距离，即为到平面的距离，
设到平面的距离为，
因为，即，
即，所以，
所以平面与平面的距离为.
故答案为：①；②
四、解答题
12.（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．

(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由平面ABCD得直线和平面ABCD所成角，从而得解；
（2）由平面ABCD得直线和平面ABCD所成角，从而得解．
【详解】（1）因为平面ABCD，
∴直线在平面ABCD上的射影为直线AB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
∵在中，，则，
∴直线和平面ABCD所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，
∴直线在平面ABCD上的射影为直线，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
∵在中，，则，
∴直线和平面ABCD所成角的的正切值为．
13.（2023·高一课前预习）已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，．若直线与平面所成角为．

(1)求二面角的平面角的大小．
(2)求线段的长度．
(3)求二面角平面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的角，计算得到答案.
（2）在中，，，得到答案.
（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1）如图，作，垂足为，连接，作于，

平面，平面，故，，，
平面，故平面，平面，故，
是二面角的平面角，
平面，故，，，平面，
故平面，
是直线与平面所成的角，
是直角三角形，由已知，所以．
（2）在中，，．
（3）连接交于点，连接，

在中，，在中，，
故即为二面角的一个平面角，
在中，，，
，即二面角平面角的余弦值为．
14．（2022春·内蒙古通辽·高一开鲁县第一中学校考期中）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面EGF与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得,进而推出，再结合的边长，利用勾股定理即可推出，最后结合线面垂直的判定定理即可完成证明；
（2）根据是的中位线，即可证明，再利用，即可证明，再根据题意条件，证明，最后利用面面平行的判定定理即可完成证明；
（3）由（2）可知，平面平面，而，因此平面EGF与平面的距离就是两条平行线之间的距离，再结合四边形的边角关系，可得是的公垂线，即为两个平面之间的距离，求出即可完成距离的求解.
（1）
在直三棱柱中, ，交线为，而，，，，
根据已知条件可得，为的中点，，，结合勾股定理可得，，所以平面.
（2）
如图所示，取的中点，连接，，，为的中点，而为的中点，为的中位线，，又，且，，，，，
F、G分别是、的中点，是的中位线，，
在直三棱柱中，，，，，又，平面平面.

（3）
由平面平面，EF与相交于H，又 平面，平面，两平面之间的距离即为H到平面的距离，即， ，
∽，，，
故平面EGF与平面的距离为.
15．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理易得，，再由线面垂直判定定理即可证明；
（2）利用等体积法即可求解.
【详解】（1）如图所示：

连接BD，．
由已知可得，，，，
所以，，，所以，
所以，同理，
又平面，
所以平面．
（2）在中，，，则．
在中，，，则．
设点到平面的距离为d，
由，得，
得，解得
16．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面与平面的距离.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理证得，证明平面，根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，连接，可得为的中点，证明，四边形是平行四边形，可得，再根据面面平行的判定定理即可得证；
（3）设，由（1）（2）可得即为平面与平面的距离，求出的长度，即可得解.
【详解】（1）证明：在直三棱柱中，
为的中点，，，
故，
因为，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因，，
所以平面，
又平面，所以，
又，
所以平面；
（2）证明：取的中点，连接，
则为的中点，
因为，，分别为，，的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因，平面，平面，
所以平面平面；
（3）设，
因为平面，平面平面，所以平面，
所以即为平面与平面的距离，
因为平面，所以，
，
所以，
即平面与平面的距离为.