专题07 复数——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题7 复数

（一）复数的概念

1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.

全体复数构成的集合叫做复数集.

2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

3.复数相等的充要条件

设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.

4.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件.

5.复数的分类

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔.

(2)集合表示：

（二）复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(3) ＝＋i (z2≠0)．

2. 复数的加、减法几何意义及运算律

3．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

5．共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：

(1)；(2)；(3)；(4)；

(5)；(6).

6．in(n∈N*)的性质

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：

i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，

从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，

同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

这就是说，如果n∈N*，那么有

i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

（三）复数的几何意义

1.复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.

(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi).

(3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示.

复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：

3.复数的模

复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝ 　

当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.

4.复数模的几何意义

复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.

由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.

（四）复数的三角形式及其运算

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则

(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=

r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]

(2) ＝

＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

题型一  复数的概念

【典例1】（2023·高一课时练习）已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（    ）

A． B． C． D．

【总结提升】

(1)复数的代数形式：

若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念.

(3)虚数单位i的性质

①i2＝－1.

②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.

③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.

例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小.

题型二  复数的分类

【典例2】【多选题】（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（    ）

A．若，则是纯虚数

B．若是纯虚数，则实数

C．若，则为实数

D．若，且，则

【总结提升】

1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的.

2.形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数.

题型三  复数的相等

【典例3】（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．

【总结提升】

复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解.

题型四  复数的几何意义

【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．

【典例5】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知复数满足，则的最大值为______.

【典例6】（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数z满足，为虚数单位.

(1)求复数z；

(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.

【总结提升】

1.复数的几何意义包含两种：

(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.

(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.

2.有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.

题型五  复数的四则运算

【典例7】（2022·江苏·高一开学考试）已知复数满足，则复数___________.

【典例8】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）若复数，复数．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求．

【典例9】（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考阶段练习）设为虚数单位，，复数，.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求.

【总结提升】

1.复数四则运算的解题策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．

(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.

2．注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i.

题型六  复数模的计算

【典例10】【多选题】（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．若，则

【典例11】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考开学考试）已知复数满足等式，是虚数单位，则的模______．

题型七  共轭复数

【典例12】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C．4 D．

【典例13】【多选题】（2022·高一单元测试）设是复数，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z1|＝|z2|，则

【总结提升】

1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.

2.注意共轭复数的简单性质的运用.

题型八  复数的三角形式及运算

【典例14】（2023·全国·高一专题练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______．

【典例15】（2023·高一课时练习）计算：______．

【典例16】（2023·全国·高一专题练习）回答下面两题

(1)求证：；

(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：

①；②；③．

【总结提升】

1.复数的代数形式化为三角形式的步骤

（1）先求复数的模.

（2）决定辐角所在的象限.

（3）根据象限求出辐角.

（4）求出复数的三角形式.

2.提醒：

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

(2)复数0的辐角是任意的．

(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.

3.三角形式乘、除法：

（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．

（2）除法法则：模相除，辐角相减．

（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．

一、单选题

1．（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）复数的实部是（    ）

A．2 B． C．2＋ D．0

2．（2021春·江苏无锡·高一统考期末）复数的共轭复数是（    ）

A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i

3．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

4.（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5.（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ）

A． B． C． D．

6.（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（    ）

A．若， B．若，则

C．若，则 D．若，则

三、填空题

8．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.

9．（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．

10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．

11．（2023·高一单元测试）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.

四、解答题

12．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．

(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；

(2)若z是纯虚数，求m的值．

13．（2022春·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）（1）已知，求实数、的值.

（2）设，，若为实数，求的值.

14．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足

(1)求；

(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．

15．（2023·全国·高一专题练习）求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：

(1)在复平面内的轴上方；

(2)在实轴负半轴上．

16．（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释．

(1)；

(2)．