专题05 几个三角恒等式——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题5 几个三角恒等式

（一）积化和差公式

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

（二）和差化积公式

sinx＋siny＝2sincos，

sinx－siny＝2cossin，

cosx＋cosy＝2coscos，

cosx－cosy＝－2sinsin．

（三）半角公式

sin＝±，cos＝±　，tan＝±.符号由所在的象限决定．

另：tan＝＝.不含被开方数，且不涉及符号问题，但应用时需要注意该公式成立的条件．

（四）常见的三角恒等变换

（1）asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论＝±1，±，±的情况．

（2）sin2x＝，cos2x＝，sinxcosx＝sin2x．

（3）万能公式：设，则，，.可结合图中直角三角形的边角关系理解记忆.

题型一  三角函数求值

【典例1】（2023·江苏·高一专题练习）____．

【典例2】（2023·江苏·高一专题练习） _____．

【典例3】（2022·高一课时练习）化简：___________.

【典例4】（2022·高一课时练习）已知且，求：

(1)；

(2)．

【规律方法】

1.给角求值：一般不会给出特殊角！所以，应用各种公式，设法化成特殊角的函数值，或将待求值三角函数式，用已知表示出来.

2.给值求值：由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．

3.已知的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．（3）应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．

题型二  化简三角函数式

【典例5】（2022·高一课时练习）已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.

【典例6】化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2αcos2β．

【典例7】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）（1）化简：；    

（2）求值：．

【典例8】（2022·高一课时练习）化简：

(1)；

(2).

【规律方法】

三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．

题型三  三角恒等式证明问题

【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知.求证：.

【典例10】（2021春·上海·高一期中）求证：.

【典例11】（2023·江苏·高一专题练习）已知.求证：.

【典例12】（2022·高一课时练习）已知，求证：．

【规律方法】

1.三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．

2. 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等

题型四  三角恒等变换与三角函数图象和性质

【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数.

(1)求的最小正周期及单调区间；

(2)求在区间上的最大值与最小值.

【典例14】（2021春·湖南·高一周南中学校联考开学考试）已知函数，.

(1)若是第三象限角，且，求的值；

(2)设，讨论在区间上的单调性.

【规律方法】

当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．

题型五  三角恒等变换与平面向量

【典例15】（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【典例16】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，设.

(1)求的值；

(2)求函数的最小正周期及单调递增区间.

一、单选题

1．（2021春·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·江苏·高一专题练习）cos15° sin 105°=（    ）

A．+ B．-

C．+1 D．-1

3．（2023·江苏·高一专题练习）计算：（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·江苏·高一假期作业）若，是第三象限的角，则（    ）

A． B． C． D．-2

5．（2021·高一课时练习）若，则（    ）

A． B． C． D．

6.（辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）函数的最小正周期为（    ）

A．π B．2π C． D．

7．（2022·高一课时练习）已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·高一课时练习）已知，为锐角，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·高一课时练习）（多选）下列等式中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2023秋·广东广州·高一广州市真光中学校考期末）下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

11．（2023·江苏·高一专题练习）函数的最小正周期为________．

12．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，则__．

四、解答题

13．（2020·高一课时练习）求证：

（1）．

（2）．

14．（2023·江苏·高一专题练习）已知.

(1)若在第二象限，求的值；

(2)已知，且，求的值.

15．（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考期末）已知函数.

(1)求函数在区间上的最大值和最小值；

(2)若，，求的值.

16．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，，

(1)求的值；

(2)求的值.